C 获取两个无符号整数（HW）相乘的32高位

我正在阅读CSAPP并试图完成家庭作业问题。假设w=32，2.75表示将两个32位无符号整数相乘得到高32位。给定函数

int signed\u high\u prod（int x，int y）

，该函数计算x的高阶32位。对于x和y为二补形式的情况

int-signed\u-high\u-prod（int-x，int-y）

应用于实现

unsigned-int-unsigned\u-high\u-prod（unsigned-x，unsigned-y）

通过谷歌搜索，我发现

x'.y'=x.y+x.y_31.2^32+y.x_31.2^32+x_31.2^64

，其中x'和y'分别是x和y的无符号形式

我还是不明白答案

unsigned unsigned_high_prod(unsigned x, unsigned y){
    unsigned p = (unsigned) signed_high_prod((int) x, (int) y)
    if((int) x < 0){
        p += y;
    }
    if((int) y < 0){
        p += x;
    }
    return p;
}

unsigned unsigned\u high\u产品（unsigned x，unsigned y）{
无符号p=（无符号）有符号高输出（（int）x，（int）y）
如果（（int）x<0）{
p+=y；
}
如果（（int）y<0）{
p+=x；
}
返回p；
}

---

为什么最后一个术语对结果没有影响？为什么

x<0

那么

x\u 31=1

，加上

y

？和

y

一样，要将一个有符号的，2的补码，32位整数转换成一个无符号的32位整数，如果它是负数，我们在它的值上加2

signed_high_prod

执行有符号乘法并返回乘积的第63位到第32位。我们希望

unsigned\u high\u prod

对无符号乘法执行相同的操作，并使用

signed\u high\u prod

然后补偿无符号乘法和有符号乘法之间的差异

Let N(i) = { 1, i < 0
           { 0, i >= 0

Let U(i) = i + N(i)·2³² { −2³¹ <= i < 2³¹ }

由于对无符号、32位整数的算术运算将以模2执行，因此我们有：

⌊U(x)·U(y)/2³²⌋ mod 2³²  = (⌊x·y/2³²⌋ + x·N(y) + y·N(x) + N(x)·N(y)·2³²) mod 2³²
                         = (⌊x·y/2³²⌋ + x·N(y) + y·N(x)) mod 2³²

---

我相信这是由

unsigned_high_prod

函数执行的计算的原因。

要将带符号的2的补码32位整数转换为无符号的32位整数，如果它是负数，我们将其值加2

signed_high_prod

执行有符号乘法并返回乘积的第63位到第32位。我们希望

unsigned\u high\u prod

对无符号乘法执行相同的操作，并使用

signed\u high\u prod

然后补偿无符号乘法和有符号乘法之间的差异

Let N(i) = { 1, i < 0
           { 0, i >= 0

Let U(i) = i + N(i)·2³² { −2³¹ <= i < 2³¹ }

由于对无符号、32位整数的算术运算将以模2执行，因此我们有：

⌊U(x)·U(y)/2³²⌋ mod 2³²  = (⌊x·y/2³²⌋ + x·N(y) + y·N(x) + N(x)·N(y)·2³²) mod 2³²
                         = (⌊x·y/2³²⌋ + x·N(y) + y·N(x)) mod 2³²

---

我认为这是由

unsigned\u high\u prod

函数执行的计算的原因。

要执行位级乘法，我们必须首先扩展位，然后进行一系列移位和加法。例如，假设w=3，让

x=[011]

和

y=[101]

。（即

x=3

和

y=-3（有符号）或5（无符号）

）

为了执行无符号乘积，我们首先进行如下零扩展：（忽略位6及以上）

因此，无符号高位为

[001]

为执行已签署的产品，我们首先签署如下扩展：

     000 011
   * 111 101
    --------
     000 011
   + 001 100
   + 011 000  **
   + 110 000  **
   + 100 000  **
    --------
     110 111
    ========

因此，有符号高位是

[110]

注意，有符号和无符号高位之间的区别（如上面**所示）是我们在有符号的情况下添加了

[111]*[011]

。因此，我们必须减去这个量才能得到无符号高阶位

The unsigned high order bits = [110] - [111] * [011]
                             = [110] - [101]
                             = [110] + [011] ??
                             = [001] (as above) 

由于

[111]=-1

，因此校正量

-[111]*[011]

相当于

-（-1*x）=x

因此，当

y

为负值时（如本例中），我们必须通过添加

x

来更正结果。同样，当

x

为负时，我们必须通过添加

y

来更正结果

---

-[101]=~[101]+1=[010]+[001]=[011]

要执行位级乘法，我们必须首先扩展位，然后进行一系列移位和加法。例如，假设w=3，让

x=[011]

和

y=[101]

。（即

x=3

和

y=-3（有符号）或5（无符号）

）

为了执行无符号乘积，我们首先进行如下零扩展：（忽略位6及以上）

因此，无符号高位为

[001]

为执行已签署的产品，我们首先签署如下扩展：

     000 011
   * 111 101
    --------
     000 011
   + 001 100
   + 011 000  **
   + 110 000  **
   + 100 000  **
    --------
     110 111
    ========

因此，有符号高位是

[110]

注意，有符号和无符号高位之间的区别（如上面**所示）是我们在有符号的情况下添加了

[111]*[011]

。因此，我们必须减去这个量才能得到无符号高阶位

The unsigned high order bits = [110] - [111] * [011]
                             = [110] - [101]
                             = [110] + [011] ??
                             = [001] (as above) 

由于

[111]=-1

，因此校正量

-[111]*[011]

相当于

-（-1*x）=x

因此，当

y

为负值时（如本例中），我们必须通过添加

x

来更正结果。同样，当

x

为负时，我们必须通过添加

y

来更正结果

-[101]=~[101]+1=[010]+[001]=[011]

• x'.y'=x.y+x.y_31.2^32+y.x_31.2^32+x_31.y_31.2^64

以下是你应该知道的先决条件

x'和y'是无符号的，x，y是有符号的

使用“mod 2^32”获取x*y的低位32位

使用“/2^32”获取x*y的高阶32位

让我们开始吧

为了获得x'*y'的高阶32位，我们使用“/2^32”

但是我们得到的并不局限于32位，显然结果y.x_31+x_31.y_31.2^32溢出了，我们应该得到的只是一个32位的数字。所以我们使用mod 2^32来得到正确的答案

（签名为高产量（整数x，整数y）+x.y\u 31+y.x\u 31+x\u 31.y\u 31.2^32）mod 2^32 =有符号高产量（整数x，整数y）+x.y\u 31+y.x\u 31

最后是：

无符号\u高\u产品（无符号x、无符号y）= 签名高产量（整数x，整数y）+x.y\u 31+y.x\u 31