在C语言中将二进制分数转换为十进制分数

我实现了对2的平方根的逐位计算。每轮输出一位小数部分，例如

1010101

等

我想将此输出转换为十进制数：

414136

等

我面临的问题是，这通常是这样的：

1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3

etc

我希望完全避免使用分数，因为我希望使用整数将二进制转换为十进制。此外，我想打印每一个十进制数字一旦计算出来

转换为十六进制非常简单，因为我只需要等待4位。是否有一种智能的方法可以转换为base10，它只允许观察整个输出的一部分，并且理想地从等式中删除数字，一旦我们确定它不会再改变，即

1   0
2   0,25
3   0,375
4   0,375
5   0,40625
6   0,40625
7   0,4140625
8   0,4140625

---

处理完第8位后，我非常确定4是第一个小数位数。因此，我想从等式中完全删除

0.4

，以减少需要处理的位。

您可以使用乘除法来减少浮点运算。

1011

---

它相当于

1*2^0+0*2^1+2^（-2）+2^（-3）

可以简化为

（1*2^3+0*2^2+1*2^0）/（2^3）

只有除法仍然是浮点算术，其余都是整数算术运算。2的乘法可以通过左移位实现。

您可以使用乘除法来减少浮点运算量。

1011

它相当于

1*2^0+0*2^1+2^（-2）+2^（-3）

可以简化为

（1*2^3+0*2^2+1*2^0）/（2^3）

只有除法仍然是浮点算术，其余都是整数算术运算。2的乘法可以通过左移位实现

是否有一种聪明的方法可以转换为base10，它只允许观察整个输出的一部分，理想情况下，一旦我们确定它不再改变，就可以从方程中删除数字（？）

是的，最终在实践中是这样，但在理论上，在某些情况下不是这样

这类似于

考虑以下接近0.05的值的处理。只要二进制序列是.0001 1001 1001 1001 1001，我们不知道它的十进制等价物是0.0499999。。。或0.05000000…非零

int main(void) {
  double a;
  a = nextafter(0.05, 0);
  printf("%20a %.20f\n", a, a);
  a = 0.05;
  printf("%20a %.20f\n", a, a);
  a = nextafter(0.05, 1);
  printf("%20a %.20f\n", a, a);
  return 0;
}

0x1.9999999999999p-5 0.04999999999999999584
0x1.999999999999ap-5 0.05000000000000000278
0x1.999999999999bp-5 0.05000000000000000971

代码可以分析二进制分数位的输入序列，然后在每一位之后问两个问题：“如果剩余位都是0，那么十进制是什么？”和“如果剩余位都是1，那么十进制是什么？”。在许多情况下，答案将共享共同的前导有效数字。然而如上所示，只要接收到1001，就没有常见的有效十进制数字

通常的“输出”是对将要显示的小数位数有一个上限。在这种情况下，代码仅给出一个舍入结果，即使二进制输入序列保持1001，也可以在有限时间内推导出该结果

是否有一种聪明的方法可以转换为base10，它只允许观察整个输出的一部分，理想情况下，一旦我们确定它不再改变，就可以从方程中删除数字（？）

是的，最终在实践中是这样，但在理论上，在某些情况下不是这样

这类似于

考虑以下接近0.05的值的处理。只要二进制序列是.0001 1001 1001 1001 1001，我们不知道它的十进制等价物是0.0499999。。。或0.05000000…非零

int main(void) {
  double a;
  a = nextafter(0.05, 0);
  printf("%20a %.20f\n", a, a);
  a = 0.05;
  printf("%20a %.20f\n", a, a);
  a = nextafter(0.05, 1);
  printf("%20a %.20f\n", a, a);
  return 0;
}

0x1.9999999999999p-5 0.04999999999999999584
0x1.999999999999ap-5 0.05000000000000000278
0x1.999999999999bp-5 0.05000000000000000971

代码可以分析二进制分数位的输入序列，然后在每一位之后问两个问题：“如果剩余位都是0，那么十进制是什么？”和“如果剩余位都是1，那么十进制是什么？”。在许多情况下，答案将共享共同的前导有效数字。然而如上所示，只要接收到1001，就没有常见的有效十进制数字

通常的“输出”是对将要显示的小数位数有一个上限。在这种情况下，代码仅给出一个舍入结果，即使二进制输入序列保持1001，也可以在有限时间内推导出该结果

我面临的问题是，这通常是这样的：

1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3等

1/2=5/10和1/4=25/100，依此类推，这意味着你需要5的幂，并将值移动10的幂

因此，假设为01101

[1] 0*5=0

[2] 0*10+1*25=25

[3] 25*10+1*125=375

[4] 375*10+0*625=3750

[5] 3750*10+1*3125=40625

编辑：

是否有一种智能的方法可以转换为base10，它只允许观察整个输出的一部分，并且理想地从等式中删除数字，一旦我们确定它不会再改变

在这种情况下，实际上可能会弹出最重要的数字（MSD）。这将是一个有点长，但请容忍我

考虑X和Y的值：

如果X的位数与Y相同，则MSD将更改

如果Y有一个或多个小于X的数字，则MSD可以更改

因此，第一点是不言自明的，但第二点是什么将允许我们弹出MSD。我们需要知道的第一件事是，我们正在添加的值在每次迭代中都被不断地分成两半。这意味着如果我们只考虑MSD，BASE10中的最大值是9，将产生序列

    9 > 4 > 2 > 1 > 0

如果我们总结这些值，它将等于16，但是如果我们试图考虑下一个数字的值（例如9.9或9.999），该值实际上接近20，但不超过20。这意味着，如果X有n个数字，Y有n-1个数字，那么X的MSD仍然可以改变。但如果X有n个数字，Y有n-2个数字，只要X的n-1个数字小于8，则

    9 > 4 > 2 > 1 > 0

 1. If X = 10000 and Y = 9000 then the MSD of X can change.
 2. If X = 10000 and Y =  900 then the MSD of X will not change.
 3. If X = 19000 and Y =  900 then the MSD of X can change.
 4. If X = 18000 and Y =  999 then the MSD of X can change.
 5. If X = 17999 and Y =  999 then the MSD of X will not change.
 6. If X = 19990 and Y =    9 then the MSD of X can change.

i          Out                      X                  Y     flag
-------------------------------------------------------------------
1                                   0                  5       0
2                                  25                 25       1
3                                 375                125       1
4                               3,750                625       0
5                              40,625              3,125       1
6                             406,250             15,625       0
7            4                140,625             78,125       1
8            4              1,406,250            390,625       0
9            4             14,062,500          1,953,125       0
10          41             40,625,000          9,765,625       0
11          41            406,250,000         48,828,125       0
12          41          4,062,500,000        244,140,625       0
13          41         41,845,703,125      1,220,703,125       1
14         414         18,457,031,250      6,103,515,625       0
15         414        184,570,312,500     30,517,578,125       0
16         414      1,998,291,015,625    152,587,890,625       1
17        4142      0,745,849,609,375    762,939,453,125       1