Maclaurin级数的函数逼近

我需要大约（1-x）^0.25，具有给定的精度（例如0.0001）。我正在使用（1+x）^0.25。当当前表达式小于精度时，我需要停止近似

long double s(long double x, long double d) {
    long double w = 1;
    long double n = 1; // nth expression in series
    long double tmp = 1;

    // sum while last expression is greater than accuracy
    while (fabsl(tmp) >= d) {
        tmp *= (1.25 / n - 1) * (-x); // the next expression
        w += tmp; // is added to approximation
        n++; 
    } 

    return w;
}

不介意长双n：当我并没有检查当前表达式的值，而是在计算1000个或更多表达式时，这个方法很有效。函数的域为，s（）可以很好地计算x in的近似值。论点越大，计算的误差就越大。从0.6开始，它超过了精度

long double s(long double x, long double d) {
    long double w = 1;
    long double n = 1; // nth expression in series
    long double tmp = 1;

    // sum while last expression is greater than accuracy
    while (fabsl(tmp) >= d) {
        tmp *= (1.25 / n - 1) * (-x); // the next expression
        w += tmp; // is added to approximation
        n++; 
    } 

    return w;
}

我不确定这个问题是否清楚，因为我不太懂英语数学语言。问题是while条件有什么问题，以及函数s（）不能正确逼近的原因

编辑： 问题基本解决了。当x>0时，我必须从1中减去连续表达式的绝对值

if (x<0)
   w += tmp;
else
   w -= fabsl(tmp);

---

if（当然是x0）。冗余错误源于长双精度。这就是全部。无论如何感谢你们。
尝试绘制函数abs图（（1.0+x）α-二项式_公式（α，x，公差）），即使在接近x的范围内，例如[-0.5；0.5]，您也会得到如下结果：
abs((1.0+x)alpha - binomial_formula(alpha,x,tolerance))

这意味着您的二项式展开实现是不稳定的。随着x离零越来越远，级数必须包含越来越多的项以保证给定的精度。但在当前扩展实现中这样做会导致出现错误（某些浮点错误累积机制）。尝试阅读我给出的关于如何设计数值稳定算法的链接

顺便说一句，谢谢你提出了一个非常有趣的问题
 您的问题是，虽然您的算法的迭代部分很好，但终止并不是您认为的那样

计算无穷和时，您使用的泰勒级数展开式是精确的。但是，您无法计算该无穷和，并且正在截断

我假设您假设当
tmp
小于所需公差时，
w
中的误差也小于该公差

然而，事实并非如此。每次迭代的误差是剩余项的无限和。它是你扔掉的无穷多个项的总和。其中第一个，即终止点处的
tmp
值可能小于您的公差，但它们的总和可能大于您的公差

当（-x）为负数时，您正好可以侥幸逃脱，因为
tmp
的交替符号对您有利。当（-x）为正时，当
x
接近于零时，你可以不受惩罚

然而，我不相信有一个简单的方法来制定一个简单的通用停止标准。你必须能够对你要放弃的条款设定一些界限。这现在变成了一个数学问题，而不是一个编程问题。
如果你想在区间上获得一致的精度，你应该使用用雷米兹算法确定的多项式，而不是泰勒算法@Pascal最好将其实现为
sqrt（sqrt（1.0-x））
，但这是一个家庭作业练习。关键不在于算法的效率，而在于学生实现算法的能力。你是否打开了编译器警告？您有C99编译器（其中描述了
fabsl
）还是C89编译器（没有
fabsl
）？@pmg，我使用GCC4.5，在C89和C99模式下编译。没有任何变化。@Pascal:Chebyshev多项式更容易计算。+1。作为一种启发式方法，第一个被忽略项的大小通常给出截断误差的粗略指示。但是在这里，还有另一个（数字）问题，即总和是交替的。@Alexandre只有当
（-x）
为负时，它才是交替的，这种情况下，错误的停止标准表现得更好。当
tmp
没有交替符号时，表示截断误差更麻烦，但可能更容易计算数学界限。对，但对交替序列求和的问题在数值上是困难的。@Alexandre对，但在这里要求的公差水平上，对于这个问题，我认为你没有触及这些问题。总而言之，这似乎是一项奇怪的任务。我想我会选择一个更容易处理的终止标准！