Category theory 将“最佳”产品类型映射到“次最佳”产品类型的唯一态射`m`真的是唯一的吗？

我正在浏览Bartosz Milewski关于范畴理论的很棒的博客。我被卡在上面的那个上了

Bartosz说，两个物体a和b的乘积是带有两个投影的物体c，因此对于任何其他带有两个投影的物体c，从c'到c有一个唯一的态射m，它将这些投影分解

当然，我们可以在集合和函数的范畴中找到一个合适的例子。两种类型Int和Bool的乘积是Int对Bool。这两个投影是p int，=int和q，bool=bool。然而，Int和Bool的乘积还有另一个候选者：它是一种Int类型，投影为p'Int=Int和q'=True。正如巴托斯所说：这很差劲，但符合标准。请注意，产品类型Int包含的值少于产品类型Int Bool。准确地说是一半。即使两种产品类型都可以映射到整个Int类型，但产品类型Int只能映射到Bool类型的一半。如果这个词对的话，它就不是满射的

因为我们可以得到一个mormphism：：Int，Bool->Int，其中m只能作为m Int唯一实现，=Int，我们知道产品类型Int，Bool比Int好。在这一点上，我想知道：我们不能像m Int，=Int+1一样轻松实现m吗？这不是第二个有效的变形吗？或者这是不允许的，因为生成的产品Int实际上根本不是Int，而是Int移位了1

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m中的箭头指向错误的方向。我们知道Int，Bool比Int好，因为我们有一个态射m:：Int->Int，Bool，mx=x，True。它满足条件p。m==p'和q。m==q'，这就是m分解p'和q'的意思。如果以任何其他方式定义m，则此条件将不成立

例如，如果它被定义为mx=x+1，则为True，那么pM0==1，但p'0==0

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你的地图m’：：Int，Bool->Int，如果它分解了p和q，也会指出Int是一个合适的乘积。但是组合q′。m'：：Int，Bool->Bool总是返回True，所以它不能等于q。

非常清楚！你现在指出这似乎是一个明显的错误。非常感谢。