Coq 向量错误：该术语的类型为乘积

我要向量的最后k个元素。我写这段代码时参考了

rectEucLastN

说

这个术语的类型是一个产品，而它预期是（p？n{n1:=0%nat}？n0{k1:=0%nat}？e{n1:=0%nat；e1:=[]）。

问题是代码底部的第二行

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为什么最后一个模式有错误？

在

rectEuc

的分支上看到的函数项是如何告诉Coq模式匹配分支是矛盾的。例如，在第一个递归函数中，您使用它来表示第一个

v'

不能是cons，因为它的长度为零。在最后一个分支中出现错误的原因是，这种情况并不矛盾：函数类型中没有任何内容阻止这种情况

k=0

和

n=0

要在索引族上编写依赖类型的程序，通常需要使用护送模式：要在对某个表达式进行分支后细化参数

x

的类型，您的

match

需要返回一个对

x

进行抽象的函数。例如，此函数通过递归计算向量长度上的最后一个元素。在

S

分支中，我们需要知道

v

的长度以某种方式连接到

n

Definition head n (v : Euc (S n)) : R :=
  match v with
  | x ::: _ => x
  end.

Definition tail n (v : Euc (S n)) : Euc n :=
  match v with
  | _ ::: v => v
  end.

Fixpoint last n : Euc (S n) -> R :=
  match n with
  | 0   => fun v => head 0 v
  | S n => fun v => last n (tail _ v)
  end.

下面是提取最后

k

元素的代码。注意，它的类型使用

Nat.min

函数指定结果的长度：结果不能大于原始向量

Fixpoint but_last n : Euc (S n) -> Euc n :=
  match n with
  | 0   => fun _ => []
  | S n => fun v => head _ v ::: but_last n (tail _ v)
  end.

Fixpoint snoc n (v : Euc n) (x : R) : Euc (S n) :=
  match v with
  | [] => [x]
  | y ::: v => y ::: snoc _ v x
  end.

Fixpoint lastk k : forall n, Euc n -> Euc (Nat.min k n) :=
  match k with
  | 0 => fun _ _ => []
  | S k => fun n =>
    match n return Euc n -> Euc (Nat.min (S k) n) with
    | 0 => fun _ => []
    | S n => fun v =>
      snoc _ (lastk k _ (but_last _ v)) (last _ v)
    end
  end.

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就个人而言，我建议您不要在Coq中使用这种风格的编程，因为这样会使编写程序和以后理解它们变得困难。通常最好编写一个没有依赖类型的程序，并在它具有您所关心的某些属性之后进行证明。（例如，尝试证明两次反转列表会产生使用向量的相同列表！）当然，在某些情况下依赖类型是有用的，但大多数情况下不需要依赖类型。

是否可以禁止在

lastk

中使用k>n的参数？我只想要类型为

Euc k

的输出。

Fixpoint but_last n : Euc (S n) -> Euc n :=
  match n with
  | 0   => fun _ => []
  | S n => fun v => head _ v ::: but_last n (tail _ v)
  end.

Fixpoint snoc n (v : Euc n) (x : R) : Euc (S n) :=
  match v with
  | [] => [x]
  | y ::: v => y ::: snoc _ v x
  end.

Fixpoint lastk k : forall n, Euc n -> Euc (Nat.min k n) :=
  match k with
  | 0 => fun _ _ => []
  | S k => fun n =>
    match n return Euc n -> Euc (Nat.min (S k) n) with
    | 0 => fun _ => []
    | S n => fun v =>
      snoc _ (lastk k _ (but_last _ v)) (last _ v)
    end
  end.