Coq：在if-then-else下重写

我有时需要在不破坏区分的前提下，对if-then-else的一个分支进行简化

From Coq Require Import Setoid.

Lemma true_and :
  forall P, True /\ P <-> P.
Proof.
  firstorder.
Qed.

Goal (forall (b:bool) P Q, if b then True /\ P else Q).
  intros.
  Fail rewrite (true_and P).
Abort.

来自Coq的

需要导入Setoid。
引理true_和：
对于all P，True/\P。
证明。
一等货。
Qed。
目标（对于所有（b:bool）pq，如果b，则为True/\P else Q）。
介绍。
重写失败（为真）。
中止

在本例中，

rewrite

失败（

setoid\u rewrite

），建议注册以下内容

• “子关系eq（Basics.flip Basics.impl）”

  ：对我来说似乎很公平

• “子关系iff eq”

  ：不可能

---

为什么重写引擎要求这么高？

我认为重写策略失败了，因为你想要的不是重写，而是减少（

True/\p

在技术上不等于

p

）。如果要维护

If-then-else

语句，我将建议以下解决方案（但有点不满意）：

在

tractics.v

文件中，添加以下引理和LTAC：

Lemma if_then_else_rewrite:
  forall (b: bool) (T1 T2 E1 E2 : Prop),
    (T1 -> T2) ->
    (E1 -> E2) ->
    (if b then T1 else E1) ->
    (if b then T2 else E2).
Proof.
  destruct b; auto.
Qed.

Ltac ite_app1 Th :=
  match goal with
  | H:_ |- if ?b then ?T2 else ?E =>
    eapply if_then_else_rewrite with (E1 := E) (E2 := E);
    [eapply Th | eauto |]
   end.


Ltac ite_app2 Th :=
  match goal with
  | H:_ |- if ?b then ?T else ?E2 =>
    eapply if_then_else_rewrite with (T1 := T) (T2 := T);
    [eauto | eapply Th |]
   end.

然后，当您有一个顶级

if-Then-else

目标时，您可以使用

ite\u app1 Th

或

ite\u app2 Th

在左侧或右侧应用定理

Th

。例如，您的目标是：

Goal (forall (b:bool) P Q, if b then (True /\ P) else Q).
  intros.
  ite_app1 true_and. (* -> if b then P else Q *)

---

您可能需要根据您的需要对LTAC进行微调（在上下文中应用，而不是在目标中应用，等等），但这是第一个解决方案。也许有人可以带来更多的ltac黑魔法，以更普遍的方式解决这个问题。

谢谢！根据你的建议，我提出了以下策略，仍然利用了重写引擎（在选择子术语时非常有效，除非在if then else下……）：

Ltac ite_rewrite Hr:=重写Hr | | |将目标与| | context匹配[if | then | else]=>重写if then | else|u rewrite；[| ite_rewrite Hr；reflectivity | ite_rewrite Hr；reflectivity]|=>idtac end.

（在

if_then_else_rewrite

中使用等价项更改含义后）是的，这样更好！您可能会发现，在某些情况下，该策略会创建无法立即解决的新目标（即，

自反性

还不够），因此您可以进行重写，并且仍然有复杂的重写证明，而无需事先明确说明（正向推理对于定义/引理的更改更为脆弱）。