类型：输入Coq

我偶然发现，在Coq中可以做出以下定义：

Definition x := Type : Type.

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Type:Type

是什么意思？这种定义有哪些用例？

这个答案有两个部分

定义x:=y:A

是什么意思？ 这意味着

x

被定义为

y

，并且有一个断言认为

y

属于

A

类型。通常，这种断言是多余的，因为Coq能够自行确定

y

的类型。但是，有时一个术语有太多的隐式部分，因此需要断言来确定所有这些隐式部分

Type:Type

是什么意思？ 具有隐式部分的示例是

类型

。Coq中没有一个

类型

，这可能会让您感到惊讶。相反，有一个无限的类型层次结构，

Type{0}

，

Type{1}

，

Type{2}

…带有

Type{i}:Type{j}

if

i

。这意味着每一个宇宙（

Type@{j}

）都包含每一个以较小级别作为元素的宇宙

然而，默认情况下，Coq不会显式显示这些“宇宙级别”。Coq通常足够聪明，它可以计算出宇宙的级别（或使其通用），而根本不会打扰你。您可以告诉Coq使用本地命令

Set Printing universe.

或通过在IDE菜单中设置选项（如果您正在使用该选项）来显示它们。然后，在像您那样定义

x

之后，使用命令

Print x.

将显示

x = 
Type@{Top.2}
     : Type@{Top.1}
(* {Top.2 Top.1} |= Top.2 < Top.1
                     *)

x=
键入@{Top.2}
：键入@{Top.1}
（*{Top.2 Top.1}|=Top.2

因此

x

被定义为

Type@{Top.2}

，并具有Type

Type@{Top.1}

Top.1

和

Top.2

只是通用宇宙级别的名称。底部的消息部分只是说明

Top.2

必须小于

Top.1

。这是因为我们需要

Type@{Top.2}

来获得类型

Type@{Top.1}

。记住，宇宙包含它们下面的宇宙，但不包含它们上面的宇宙

附带问题：为什么有多个级别的

类型

？ 简言之，如果我们只有一个

类型

和

类型：类型

，就有可能表明系统不一致。这被称为吉拉德悖论（或更简单的变体，称为赫斯肯斯悖论）。请参阅以了解一些好的细节

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如果你想了解Coq宇宙的另一种解释，请参阅。

那么这个定义是否等同于

定义x:Type=Type.

？我已经对宇宙有了一些了解，但我认为我的主要困惑是因为

：Type

在末尾。我原以为这是

类型

类型的一些特殊语法，但现在我尝试了其他常规类型，似乎“冒号类型”部分可以放在

：=

的末尾或前面，例如

定义x:=1:nat。定义y:nat:=1。

@yewang可能存在一些边缘情况，两者不同（我不知道Coq unifier的技术细节）。但是，是的，总的来说，两者应该是相同的。