Coq 当我知道head不能失败时，我可以避免使用选项A吗？

我是ATP的新手，但肯定很有动力。 我开始处理依赖类型。我参与了一个项目，我定义了（有限和无限）序列的类型

Inductive sequence {X : Type} : Type :=
    | FinSeq (x : list X)
    | InfSeq (f : nat -> X). 

现在我想定义一个非空序列的头部

Lemma aux_hd : forall {A : Type} (l : list A),
    0 < Datatypes.length l  -> @hd_error A l = None -> False.
Proof. destruct l.
 + simpl. lia. 
 + simpl. intros S. discriminate.
Qed.

Definition Hd {A : Type} (l : list A) : 0 < Datatypes.length l -> A :=
    match (hd_error l) with
    | Some a => (fun _ => a)
    | None => fun pf => match (aux_hd l pf ??) with end
    end.
     
Definition Head {A : Type} (s :sequence) (H : 0 << length s),
     match s with 
     | FinSeq x => Hd x H 
     | InfSeq f => f 0 end.

引理aux_hd:forall{A:Type}（l:list A）， 0@hd\u错误A l=None->False。 证明。破坏l。 +简单。莉亚。 +简单。介绍S.歧视。 Qed。 定义Hd{A:Type}（l:list A）：0A:= 将（hd_错误l）与 |一些a=>（有趣的a） |无=>乐趣pf=>与结束匹配（辅助hd l pf？？） 结束。 定义头{A:Type}（s:sequence）（H:0hdxh） |InfSeq f=>f 0结束。 我的问题在于Hd的定义：我不知道如何证明

@Hd\u error A l=None

，因为我们已经在这样一个匹配分支中。我相信这应该很容易

在上一个定义中，我有一个类似的问题，因为我不知道如何转换H，对于第一个匹配分支的特定情况，我知道

length s=Datatypes.length x

，因此，

0

---

最后，我省略了关于的细节，当你在某件事情上匹配时，所有额外的证据都必须作为参数传递给匹配（这是CPDT中描述的“护航模式”）

在

Hd

中，您希望记住

Hd_error l=None

，将其作为参数传递。这有点棘手，因为您必须使用

return

子句显式注释

match

（在更简单的情况下为您推断）：

---

非常感谢你！

Definition Hd {A : Type} (l : list A) : 0 < Datatypes.length l -> A :=
    match (hd_error l) as X return hd_error l = X -> 0 < Datatypes.length l -> A with
    | Some a => (fun _ _ => a)
    | None => fun pf1 pf2 => match (aux_hd l pf2 pf1) with end
    end eq_refl.

Definition Head {A : Type} (s :sequence) (H : 0 << length s) :=
     match s return (0 << length s) -> _ with 
     | FinSeq x => fun H => Hd x H 
     | InfSeq f => fun _ => f 0
     end H.