Coq 向量间相等的定义

我想定义向量之间的相等

我想到的定义是“两个向量相等，当且仅当它们的类型和所有元素相等”

所以，我想证明我的定义没有矛盾

Require Import Psatz.
Require Import Coq.Vectors.Vector.

Definition kLess : forall (k P:nat), (P - k) < (S P).
intros. lia.
Defined.

Lemma aaa {n A}(v1 v2:t A (S n)): (forall k:nat, nth_order v1 (kLess k n) = nth_order v2 (kLess k n)) -> v1 = v2.
Proof.
intro IH.
induction n.
Abort.

需要导入Psatz。
需要导入Coq.Vectors.Vector。
定义kLess:forall（KP:nat），（P-k）<（SP）。
介绍。莉亚。
定义
引理aaa{na}（v1v2:ta（sn））：（对于所有k:nat，n阶v1（kLess kn）=n阶v2（kLess kn））->v1=v2。
证明。
介绍IH。
归纳法。
中止

我不知道还能做什么

---

请告诉我你的方法。

显然，标准库中缺少一个关于减法的引理。这是：

Lemma sub_sub_involutive n m : m <= n -> n - (n - m) = m.
Proof.
induction 1 as [ | n lemn Ih].
  now rewrite Nat.sub_diag, Nat.sub_0_r.
destruct m as [ | m].
  now rewrite Nat.sub_0_r, Nat.sub_diag.
rewrite (Nat.sub_succ_l (S m) n);[ | lia].
now rewrite Nat.sub_succ, Ih.
Qed.

引理sub_sub_对合nm:mn-（n-m）=m。
证明。
诱导1为[n lemn Ih]。
现在重写Nat.sub\u diag，Nat.sub\u 0\r。
将m分解为[|m]。
现在重写Nat.sub\u 0\u r，Nat.sub\u diag。
重写（Nat.sub_succul（S m）n）；[| lia]。
现在重写Nat.sub_such，Ih。
Qed。

有了这个引理，你可以在评论中遵循@larsr的建议。这是我的尝试

Lemma aaa {n A}(v1 v2: t A (S n)):
  (forall k:nat, nth_order v1 (kLess k n) = nth_order v2 (kLess k n)) ->
   v1 = v2.
Proof.
intros eqi; rewrite <- eq_nth_iff.
intros p1 p2 pp; rewrite <- pp; clear pp p2.
rewrite <- (Fin.of_nat_to_nat_inv p1).
destruct (Fin.to_nat p1) as [x lx]; cbn.
assert (xtosub : x = n - ( n - x)).
  now rewrite sub_sub_involutive;[ | lia]. 
revert lx; rewrite xtosub; intros lx.
rewrite (Fin.of_nat_ext lx (kLess _ _)).
apply eqi.
Qed.

引理aaa{na}（v1v2:ta（sn））： （对于所有k:nat，n阶v1（kLess k n）=n阶v2（kLess k n））-> v1=v2。 证明。 介绍eqi；重写这里有一个证明

Require Import Psatz.
Require Import Vectors.Vector.

Definition kLess : forall (k P:nat), (P - k) < (S P).
intros. lia.
Defined.

Lemma exists_kLess {n} (p: Fin.t (S n)):
  exists k : nat, p = Fin.of_nat_lt (kLess k n).
Proof.
  destruct (Fin.to_nat p) as [i Hi] eqn:Q.
  exists (n-i).
  apply Fin.to_nat_inj.
  rewrite Q.
  rewrite Fin.to_nat_of_nat.
  simpl.
  lia.
Qed.


Lemma aaa A: forall  n (v1 v2:t A (S n)), (forall k:nat, nth_order v1 (kLess k n) = nth_order v2 (kLess k n)) -> v1 = v2.
Proof.
  unfold nth_order.
  intros.
  apply Vector.eq_nth_iff.

  intros p p' Hp; subst p'.
  
  enough (exists k, p = Fin.of_nat_lt (kLess k n)) as [k  Hk].
  rewrite Hk. rewrite (H k). reflexivity.
  apply exists_kLess.
Qed.

需要导入Psatz。
需要导入向量。向量。
定义kLess:forall（KP:nat），（P-k）<（SP）。
介绍。莉亚。
定义
引理存在_-kLess{n}（p:Fin.t（sn））：
存在k:nat，p=nat的Fin.of（kLess k n）。
证明。
分解（Fin.to_nat p）为[i Hi]eqn:Q。
存在（n-i）。
将Fin.to_nat_inj应用于。
重写Q。
将Fin.to\u nat\u改写为\u nat。
简单。
莉亚。
Qed。
引理aaa:forall n（v1v2:ta（sn）），（forall k:nat，n阶v1（kLess kn）=n阶v2（kLess kn））->v1=v2。
证明。
按N顺序展开。
介绍。
应用Vector.eq\n\u iff。
简介p'Hp；subst p'。
足够的（存在k，p=kLess k n）作为[k Hk]。
重写香港。重写（hk）。自反性。
应用程序不存在。
Qed。

你能包含运行该程序所需的所有定义吗？我修改了我的脚本。你基本上是在尝试证明引理

Vector.eq\n\u iff

，但是使用了

nat

和

Fin.t

。首先应用

eq\n\u iff

，

按*

顺序展开n\u顺序，然后证明向量中的索引匹配…@larsr，你为什么不把你的评论变成一个答案？很好！我来看看这个。我发现与

Fin

打交道相当困难。顺便说一句，你不能用

lia

来证明

sub_sub_对合

？@larsr，你是对的。这表明我的头脑中存在偏见。我更喜欢将关于运算符的有趣属性表示为引理（通过

搜索
找到，并以某种方式用作文档），而不是像
lia
和
ring
这样的自动策略（实际上，
ring
不知道截断自然数中的减法）。我在教学时，学生们往往不喜欢我所依赖的
lia
或
ring
，因为他们很难记住每种策略的应用领域。无论如何，我仍然认为在数学成分中处理有界数和固定大小的数组更好（向量被命名为
元组
）.是的，这个证明比我给出的更尊重抽象层次。