C++ 闭式多项式求根算法

我正在寻找一种稳健的算法（或一篇描述算法的论文），该算法可以使用封闭形式的解决方案找到多项式的根（理想情况下，直到第四个debree，但任何方法都可以）。我只对真正的根感兴趣

我对求解二次方程的第一个理解涉及到这一点（我也有类似风格的三次/四次方代码，但现在让我们关注二次方）：

请注意，该精度与系数的大小有关，通常在10^6范围内（因此最终精度远未达到完美，但可能大部分可用）。然而，如果没有门槛，它几乎是无用的

我曾尝试使用多精度算法，通常效果很好，但往往会拒绝许多根，因为多项式的系数不是多精度的，并且一些多项式无法精确表示（如果二次多项式中有一个双根，它通常会将其拆分为两个根）（我不介意）或者说根本就没有根）。如果我想恢复甚至稍微不精确的根，我的代码会变得复杂，并且充满了阈值

到目前为止，我已经尝试过使用CCmath，但要么我不能正确使用它，要么精度非常差。此外，它在

plrt（）

中使用迭代（非闭合形式）解算器

我曾尝试使用GNU科学库

gsl\u poly\u solve\u quadratic（）

，但这似乎是一种幼稚的方法，而且在数值上不太稳定

天真地使用

std:：complex

数字也被证明是一个非常糟糕的主意，因为精度和速度都可能很差（特别是对于三次/四次方程，其中代码包含大量超越函数）

---

将根恢复为复数是唯一的方法吗？这样就不会遗漏根，用户可以选择根的精度（从而忽略精度较低的根中的小虚部）.

这并不是真的回答你的问题，但我认为你可以改进你所得到的，因为当

b^2>>ac

时，你现在有一个“失去意义”的问题。在这种情况下，你最终得到的公式是

（-b+（b+eps））/（2*a）

其中取消b会从eps中损失许多有效数字

正确的处理方法是对一个根使用平方根的“正常”方程，对另一个根使用鲜为人知的“替代”或“颠倒”方程。采取哪种方法取决于

\u b

的符号

按照以下几行对代码进行更改应该可以减少由此产生的错误

if( _b > 0 ) {
    p_real_root[i] = T((-_b - f_disc) / (2 * _a));
    p_real_root[1 - i] = T((2 * _c) / (-_b - f_disc));
}
else{
    p_real_root[i] = T((2 * _c) / (-_b + f_disc));
    p_real_root[1 - i] = T((-_b + f_disc) / (2 * _a));
}

---

在学校，我们用拜尔斯托的方法来求根，也许这是你需要的…@Ikses拜尔斯托你提出的方法很有趣（谢谢），但它用的是牛顿的方法，不是封闭形式。对不起！我的英语不够好，无法理解什么是“封闭形式”@Ikses没有问题。封闭形式是一个可以在有限的步骤中计算的表达式，这通常不能说是牛顿方法，因为它可能根本不会收敛。另一方面，我发布的代码是封闭形式的，因为它甚至不循环，因此总是在固定的步骤中完成。这实际上是退出e有趣。我不太确定它会有什么不同，不过，因为计算

-b-b-eps

会产生大致

-2b

，

eps

也是一样的四舍五入。需要对此进行测试。这实际上工作起来很奇怪。它会稍微减少找到的根中函数的值，但会增加距离从我期望的地方找到的根的ce（这可能是因为从

（x-r0）（x-r1）

到

ax^2+bx+c

会失去精度，并且结果的根与预期的根略有不同）。绝对有趣。实际上，这非常好！我刚刚实现了中描述的测试套件，它总是返回54位有效位的根。我需要放弃我一直使用的测试套件。做得好。

root response precision 1e-100: 6315 cases
root response precision 1e-19: 2 cases
root response precision 1e-17: 2 cases
root response precision 1e-16: 6 cases
root response precision 1e-15: 6333 cases
root response precision 1e-14: 3765 cases
root response precision 1e-13: 241 cases
root response precision 1e-12: 3 cases
2-root solution precision 1e-100: 5353 cases
2-root solution precision 1e-19: 656 cases
2-root solution precision 1e-18: 4481 cases
2-root solution precision 1e-17: 2312 cases
2-root solution precision 1e-16: 455 cases
2-root solution precision 1e-15: 68 cases
2-root solution precision 1e-14: 7 cases
2-root solution precision 1e-13: 2 cases
1-root solution precision 1e-100: 3022 cases
1-root solution precision 1e-19: 38 cases
1-root solution precision 1e-18: 197 cases
1-root solution precision 1e-17: 68 cases
1-root solution precision 1e-16: 7 cases
1-root solution precision 1e-15: 1 cases

if( _b > 0 ) {
    p_real_root[i] = T((-_b - f_disc) / (2 * _a));
    p_real_root[1 - i] = T((2 * _c) / (-_b - f_disc));
}
else{
    p_real_root[i] = T((2 * _c) / (-_b + f_disc));
    p_real_root[1 - i] = T((-_b + f_disc) / (2 * _a));
}