C++ 非常大数的二项式系数对数逼近

我目前正在努力计算非常大的数的二项式系数，比如说n选择k，n<10000000，n 到目前为止，我已经尝试了许多方法来处理这些计算所产生的大量数据。然而，问题是我不需要计算这些二项式系数一次，而是数十万次。这意味着计算阶乘的常规方法过于昂贵，而像long-long-int这样的标准数据类型过于有限，无法容纳这些数字

我已经尝试过Boost库中的多精度数据类型，但正如我所提到的，多次计算会导致非常慢的性能。我也尝试过使用OpenMP实现多线程，但性能优势仍然太低。因此，我转而计算二项式系数的对数，以保持数值较小。虽然这解决了数量大的问题，但这并没有加快进程。这就是为什么我尝试了对数二项式系数的斯特林近似。我当前的解决方案如下所示：

#include <math.h>

long double calc_hgeom(unsigned int k, unsigned int n, unsigned int K, unsigned int N)
{
    long double hprob = std::exp((log_C(K, k) + log_C(N-K, n-k)) - log_C(N, n));
    return hprob;
}

long double log_C(unsigned int u, unsigned int m)
{
    long double C = u * std::log(u) - m * std::log(m) - (u-m) * std::log(u-m)) + 0.5 * (std::log(u) - std::log(m) - std::log(u-m) - std::log(2*M_PI));
    return C;
}

然而，结果与实际值相差很大，高达7%。因此我的问题是：是否有一种有效的方法来计算二项式系数的对数，或者我的近似值是否可以改进以提高精度

---

任何帮助都将不胜感激，因为此计算是我整个算法的基础。

考虑R的lchoose函数

> choose(10000, 5000) 
[1] Inf
> lchoose(10000, 5000)
[1] 6926.641

BaseR语言源代码库是解决此类问题的理想来源

看

这里的技巧是使用ln转换的输入来避免溢出

请注意，该代码在GNU许可证下。

您应该用于n，应用于二项式系数，可以得到：

对于二项式系数本身，对于对数，只要取等式右侧的对数；这些东西很快就会变得简单得多。你仍然有k！不过，对于大k，你需要再次使用近似公式。最终你会得到一些更可行的东西，也就是说，数值上更稳定

---

如果这还不够好，也就是说，如果你仍然有几乎相互抵消的条件，考虑应用一个以上的变量。

你是否尝试添加斯特灵公式中的前两个修正项，如第三个公式中所给出的？这与后面近似部分中的其他公式相比如何？@LutzL:谢谢你的快速回复。我肯定会测试你提到的其他修正项，并比较准确度。这很奇怪。查看Wiki文章中的相对错误图，7%应该在n=100时传递。因此，对于n=1e7，第一近似值应该更好。非常感谢您的回答。事实上，泰勒展开是改进方法的一个好主意！我明天会试试这个。