C++ 最大堆中第三小元素的索引

如何在1到n个不同元素的最大堆中找到第三小元素的可能索引？ 我知道最小的元素会在叶子上的任何地方出现。 如果n大于3，则第二个最小值将介于n/2到n之间

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但我不知道第三个最小的计算。有什么建议吗？

第三小元素最多有两个子元素，这意味着它的子元素（ren）是叶子，或者是叶子。（为了证明这一点，您还必须证明只有一个子元素的元素不可能有一个非叶作为子元素。简单但乏味。）

正如您几乎注意到的，树叶的索引范围在

[地板（n/2）+1，n]

之间。如果

n/2

是一个整数，那么该元素正好有一个子元素（这是一个叶子），因此加上它就给出了可能包含第二大元素的索引范围

第一个子元素在叶范围

[floor（n/2）+1，n]

中的元素最多有两个子元素，并且没有非叶子元素。该范围与[ceil（n/2），n]范围相邻，两个范围的并集为第三大元素提供了所有可能的位置

位于

i

的元素的第一个子元素具有索引

2i

，因此其第一个子元素至少为

floor（n/2）+1

的第一个元素为

floor（n/4）+1

因此，可以找到第三大元素的可能索引是范围：

[floor（n/4）+1，n]

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这是另一种方法。在索引

i

处取一些元素。其直接子代为

2i

和

2i+1

；它的孙子是

4i，4i+1，4i+2，4i+3

，一般来说，它在

k

级别的后代是

2ki，2ki+1，…，2ki+2ki-1

；总之，

[2ki，…，2k（i+1）-1]

。当然，这些范围是不重叠的（事实上，除非

i

是

1

，否则它们甚至不是连续的）。因此，如果

i

在

k

级别上至少有一个子体，那么它也为所有

k'

拥有一套完整的子体，其中有

2k-2

综上所述，我们可以得出以下结论：

• 如果

  n≥ 2ki和n<2k（i+1）

  ，则

  i

  具有：

  • 2ki-2

    在低于

    k

  • n-2ki+1

    在

    k

    级别的子体

  • 总计：

    n-1

• 如果

  n≥ 2k（i+1）和n<2k+1i

  ，则

  i

  具有：
  • 精确地

    2k+1-1

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粗略地说，这意味着在堆的底层数组的第一个

1/2k

部分中找不到最后的

2k

元素

在true中，如果我正确地调用数据结构，最小的（n+1）/2个节点将是leave。因此，第三个最小值将是这些节点之一或其中一个节点的直接父节点。即使假设堆已经完全构建，我也无法理解一个能够在O（1）时间内提取该值的封闭形式算法。我也得到了相同的解决方案…得出了最后的结论，即第I（th）个最小元素的索引公式将是[n/（2^（I-1））]到n。感谢您的帮助：）它更像是“第2^i（th）个最小元素的索引”。请参见编辑。（不完整，但如果我不能及时回复，您可能可以自己完成。）