C++ 如何使用double更安全、更精确？

每种情况下的语句在数学上是等价的。我的问题是编码时选择哪一个更好。代码的哪一部分可能会导致某些变量范围溢出，而另一部分不会导致相同范围的溢出。代码的哪一部分更精确，为什么

double x, y, z;

//case 1
x = (x * y) * z;
x *= y * z;

//case 2
z = x + x*y;
z = x * ( 1.0 + y);

//case 3
y = x/5.0;
y = x*0.2;

情况1：

x*=y*z

类似于

x=x*（y*z）因此本例强调求值顺序。如果子产品超出计算范围并转换为
INF
或
0.0
或次正常值，则最终产品将受到显著影响，具体取决于顺序。OTOH，中级数学可以在更宽的FP类型下执行。搜索
FLT\u EVAL\u方法
。在这种情况下，如果所有计算都按长双精度进行，则顺序可能不相关

案例2：两种形式略有不同。第二个在数值上更稳定，因为加法/减法使用精确值：
1，y
与第一个
x，x*y
，
x*y
可能是一个四舍五入的答案。在这种情况下，当
y
接近
-1.0
时，附加/减法容易导致严重的精度损失。作为案例1，更广泛的中级数学有帮助，但第二种形式更好

C11（C99？）提供
fma（双x，双y，双z）
，使用
fma（x，y，x）
将是另一个很好的选择

fma
函数计算
（x×y）+z
，四舍五入为一个三元运算：它们计算值（好像）到无限精度，并根据当前四舍五入模式四舍五入一次到结果格式。可能发生范围错误

案例3：

这里的“技巧”是
双0.2
与数学0.2相同？通常情况下，情况并非如此——但它们关系密切。然而，优化编译可以1）将它们视为相同的或2）或者与案例1一样，使用更广泛的数学。那么这两行代码的结果是相同的

否则：根据舍入模式，这两种形式的最小位（ULP）可能会出现差异。对于较弱的编译器，建议使用
/5.0

除以5.0比乘以0.2更准确。但是无论哪种编码方式，智能编译器都可以使用它来对两者进行广泛的乘法。
您应该阅读有关浮点算术的知识。通过简单的搜索可以找到足够的信息。如果您的项目需要通过强制执行某种编码样式来最大化浮点精度，那么可能会出现问题
x/5.0
会更精确，因为0.2不能用二进制浮点表示，但是
x*0.2
会更快“…由于溢出和下溢问题而安全”除非您知道要处理的数字有多大，否则这没有意义。您的意思是询问哪些行可能存在浮点不准确问题吗？例如，
（0.000001*100000000）*10000000
不会导致我的计算机溢出，而
0.000001*（100000000*10000000）
会导致溢出。另外，我想考虑浮点的不准确性。我不明白为什么你说<代码> x*（1 +y）< /> >比<代码> x+x*y > <代码>第一个使用近似值<代码> x*y 和<代码> x>代码>，而第二个使用近似值<代码> x<代码>，<代码> y>代码>
1.0+y
在我的GCC 4.9.2中，当我选择变量
x=1000000
和
y=0.001
时，结果是
x*（1.0+y）=10000999.999…
和
x+x*y=1001000
@Mehrshad
x
不是一个近似值，它是方程的一个参数。对于误差分析，假设方程/函数的参数是精确的。乘积
x*y
不是参数，而是可能不精确的中间结果。加法/减法比乘法/除法对不精确参数更敏感。因此，首先使用精确增广法执行
+
，结果比先执行
*
更精确。@Mehrshad尝试了您的测试值，并且使用各种代码，这两种方法彼此之间的距离在1.0 ULP以内。在
y接近-1.0的情况下尝试了相同的测试，
x*（1.0+y）
仍然接近正确答案，而
x+x*y
失去了显著的精确度–在
y=-1+1e6
的情况下失去了6位小数位数的精确度。这不是哪种方法最常给出“正确”答案的问题。对于大多数数字，两者的作用大致相同。但是
y接近-1.0
，
x+x*y
给出了显著的较差结果
x*（1.0+y）
没有这样的孔。概括：最大进动损失包括加法/减法，其中结果几乎抵消。最大范围问题发生在同一绝对方向上的乘法/除法链朝向0或
INF
。
// Case 1
x = (x * y) * z;
x *= y * z;

// Case 2
z = x + x*y;
z = x * ( 1.0 + y);

// Case 3
y = x/5.0;
y = x*0.2;