C# Diffie-Hellman密钥交换-澄清？

简介：

爱丽丝和鲍勃试图在不想让夏娃（正在听的人）知道他们要谈什么的情况下进行交流

所以

Alice和Bob公开同意素数模和生成器

说

• 发电机=3
• 素数=17

因此，公式如下（例如）：

嗯

Alice正在选择一个私人号码（比如15），然后做

3^15%17=>6

Bob正在选择一个private号码（比如13）并执行

3^13%17=>12

现在爱丽丝和鲍勃在夏娃听的时候互相告诉对方他们的结果（不是他们的私钥）

现在的情况是：

                Bad Eve ( knows : 3^x %17 , 12,6)
                   |
                   |
 Alice ------------+--------------- Bob  
 (15)private                       (13)private 
  12(Bob's)                        6(Eve's)                       

现在Alice拿走Bob的12和她的私钥并执行以下操作：

((other's public num) ^ secret number) % 17

爱丽丝正在做：

12^15%17=>10

鲍勃正在做：

6^13%17=>10

现在它们有了相同的对称数

现在：

这是一个很容易破解的例子

Eve所要做的就是在

3^x%17

中找到哪个

x

将是

15

或

13

但显然，我们在这里谈论的是大数字

如果是，我写了这个演示：

Console.WriteLine(BigInteger.Pow( new BigInteger(3213213213212123332), 6549875) % 17);

即：

3213213213212123332 ^ 6549875 % 17

我有16gb内存的I7，运行时间超过5分钟

问题：

如果双方（Alice和Bob）都使用大数字，那么他们需要很长时间才能得到第一步的结果（之后他们应该交换该值）

我可能在这里遗漏了一些东西，但似乎用大量的数字让夏娃的生活变得艰难，也让爱丽丝和鲍勃的生活变得艰难

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我错过了什么？

你错过的东西叫做。这是一种计算以某个值为模的巨大指数的快速方法

例如，假设您要计算（123^456）mod 777

如果你先执行求幂运算，你会得到一个大约1000位数的结果。对于DH密钥交换中通常使用的那种值，最终可能会使用更多的数字，甚至可能是数百万。这显然是毫无效率的

模幂运算将问题分解为更简单的步骤。有两个数学恒等式使这成为可能：

（x^a）×（x^b）=x^（a+b），以及

（x^y）模n=（x模n）^y）模n

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证明： 第一点应该是不言而喻的。第二个可以证明如下：

如果x mod n==z，那么对于c的某个整数值，x等于（c×n+z）。（c×n+z）^y的二项式展开式有（y+1）项

c^y×n^y+k1×c^（y-1）×n^（y-1）。z+k2×c^（y-2）×n^（y-2）×z^2+…+k（y-1）c×n×z^（y-1）+z^y

（其中k1…k（y-1）为）

除最后一项（z^y）外，所有这些项都是n的倍数，因此等于零（mod n）。因此（x^y）模n==（z^y）模n==（x模n）^y）模n

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模幂算法： 要计算（x^y）mod n，请重复将x乘以其自身，以获得以下序列：

X0=x模n
X1=X0×X0模n=x^2模n
X2=X1×X1模n=x^4模n
X3=X2×X2模n=x^8模n
X4=X3×X3模n=x^16模n

现在将这一系列中与y的二进制表示中的设定位相对应的项相乘。例如，假设y=21：

（x^21）模n=（（x^16）×（x^4）×x）模n=（X4*X2*X0）模n

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这样做有两个优点。首先，您必须计算的最大数字的位数最多是模数n的两倍。第二，必须执行的计算数量与指数的对数（以2为底）成正比，这意味着对于6549875这样的指数，计算速度将快数百万倍。

“…它们需要很长时间才能得到结果”-不，一点也不

pow（32121233326549875,17）

在Python中只需几微秒。在取模之前，不需要计算整个指数。查找。事实上，计算通常写为c^x（mod 17），因此括号内的mod 17表示这是特定组内的计算，而不是在求幂之后执行的操作。@squemishossifrage，因此我想我遗漏了一些东西。你能详细解释一下吗？

Console.WriteLine(BigInteger.Pow( new BigInteger(3213213213212123332), 6549875) % 17);

3213213213212123332 ^ 6549875 % 17