Dimensions 高维等值面跟踪

如何在高维空间有效地追踪等值面

在N维空间中有一个标量代价函数

f（y0，y1，…，yN）∊ ℝ, Y∊ ℝ

但仅在常规矩形网格中采样

yk=ψk+ψk xk，常数ψk∊ ℝ 和ψk∊ ℝ, 和网格坐标xk∊ ℕ

问题是定位等值面i

f（y0，y1，…，yN）=Ci

直接的方法是在网格中的每个单元上循环，检查当前等值面是否与当前单元相交，如果相交，则描述当前单元内的等值面部分。（移动立方体是描述等值面如何与每个栅格单元相交的一种方法。）

这里的限制是使用基于邻域的搜索，而不是检查每个单元格

OP有一个专门针对3D案例的链接，我将链接到示例代码，并且（在Pastebin.com上，因为它们太长，无法包含内联）

该实现与OP的切片方法完全不同。我的方法是直接、简单地在与当前等值面相交的网格单元上行走。它缓存网格样本，并使用一个单独的映射（每个网格单元一个

char

）来跟踪哪些网格单元已被缓存、遍历和/或推送到堆栈以供以后遍历。这种方法很容易扩展到三个以上的维度。虽然代码完全是为三维而编写的，但方法本身并不是针对三维的；您所需要做的就是调整数据结构以适应任意数量的维度

等值面行走本身并不重要。从等值面相交的任何栅格单元开始，然后检查所有2N个最近邻单元，以查看等值面是否也与这些单元相交。实际上，您可以使用一组要检查的网格单元位置，以及网格单元标志的映射来避免重新检查已检查的网格单元

因为每个网格单元的网格点采样数是2N，所以我的示例代码不是最优的：很多附近的网格点最终都会被计算，以查看相邻的网格单元是否与等值面相交。（不是只检查界定等值面的网格点，而是检查属于等值面周围任何网格单元的网格点。）这额外的工作量随着N的增加呈指数增长

一种更好的方法是分别考虑每一个2n个可能的（n-1）面，以避免检查等值面根本不相交的细胞。

在N维规则矩形网格中，每个单元都是N维长方体，由顶点（角点）处的2N个网格点定义。N长方体单元具有N（N-1）个二维面和2N（N-1）个二维面

要检查每个（N-1）面，需要检查定义该（N-1）面的2N-1网格点处的代价函数。如果这些点的代价函数跨越等值面值，则等值面与（N-1）面相交，等值面也与该方向上的下一个栅格单元相交

有两个（N-1）面垂直于每个轴。如果等值面与靠近负无穷大的（N-1）面相交，则等值面也将沿着该轴与下一个网格单元相交，朝向负无穷大。类似地，如果等值面与靠近正无穷远的（N-1）面相交，则它也将沿该轴与下一个网格单元相交，朝向正无穷远。因此，（N-1）面非常适合决定应检查或不检查哪些相邻单元。这是正确的，因为（N-1）-面正是两个单元共享的网格点集

---

我很犹豫是否提供示例C代码，因为对于3D案例，相同方法的示例代码到目前为止似乎对任何人都没有帮助。我担心需要一个较长的解释，用二维和三维示例图像进行说明，以便用易于理解的术语描述该方法；如果不牢牢掌握逻辑，任何示例代码都会看起来像gobbledygook

您最好使用二维库您可以尝试Paul Bourke教授的conrec算法。它类似于行进中的立方体。

您希望如何表示解决方案？我猜您当前的方法给出了3条曲线，而不是一条曲面，但我可能错了。@YvesDaoust它给出的不是3条曲面，而是3条曲线。我需要一组等成本位置。如果您不提供更多信息，我无法帮助您。鉴于静态网格和成本C，我需要网格中成本（pos）=C的坐标位置。我不清楚您需要什么信息。您能否澄清，在等值面相交的单元上漫游不取决于使用的尺寸数。这基本上是你可以用来解决迷宫的相同算法；如果等值面与该单元相交，您只需考虑网格单元打开（2）。ⁿ 栅格单元角点采样跨越等值面值），否则闭合。可视化/描述每个单元内的等值面是一个单独的问题，但几乎总是只使用单元角处的成本样本（2）ⁿ 样本总数，n个维度）。