Filter 从滤波器系数计算频率响应

关于这个话题，我找不到任何可以理解的信息。在荷兰维基百科上，我发现你可以应用一个z变换，它产生一个如下形式的公式：

此FIR滤波器用作示例：

使用z变换：

在这个例子中，e^it（上升到虚单位的自然对数，t=θ）被z代替：

然后使用该函数的曲线图，并将其视为频率响应。我认为这种方法是计算滤波器频率响应的一种简单方法。然而，这种方法有效吗？当我想到一个小延迟（它“阻止”原始信号）时，我突然想到，每个频率的频率响应应该是1，因为信号没有变化，只是延迟了，但通过这种方法，我计算出频率响应应该是：

y(n) = 0*x(n) + 1*x(n-1)  

Z变换

H(z) = 0 + 1z^-1

替换e^it（t=θ）：

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由于这会产生一个正弦波作为频率响应，我一定是做错了什么，或者误解了什么。如果有人能帮助我，我将非常高兴

一种简单的方法本质上是图形化的：您可以使用它作为算法的基础，也可以手动使用它来绘制频率响应，这也有助于“通过眼睛”快速了解响应。这适用于FIR和IIR滤波器

首先在图形上绘制极点和零点，以及单位圆。 然后，对于要计算频率响应幅度的任何给定频率：

• 从所有零到单位圆上的对应点绘制直线，并计算其长度
• 对电线杆也要这样做
• 将所有零线长度相乘得到乘积N
• 对极线长度也做同样的处理，并将其称为D
• 然后，震级将为N/D

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显然，您需要对单位圆上的多个点重复上述操作。

根据rwong的评论，系统功能H为您提供特定频率下系统的相位和幅度响应。这意味着如果系统的输入为cos[ωn]=cos[2πfn]，则输出为a（f）cos[2πfn+Φ（f）]，其中a（f）=H（f）|和Φ（f）=相位（H（f））。在您的例子中，幅值是1，因为信号没有以任何方式缩放，只是在时间上移动。相移为-ω，其中ω是系统正弦输入的角频率

我希望下面的内容对于堆栈溢出来说不是太简单，但也许复习一下时间序列分析的基本知识对minibear和其他人会有所帮助

如果系统的脉冲响应为h[n]=δ[n-1]（其中δ[n]是δ函数），如示例所示，这意味着输入延迟1个时间步长。想想这对正弦相位意味着什么。变化最快的正弦波的数字频率为0.5（即2个采样周期）——例如cos[πn]。这是系列[1，-1，…]。如果将该信号延迟1，则得到级数[-1,1，…]，即cos[πn-π]=cos[π（n-1）]，即输入信号相移-π弧度（-180度）。观察数字频率为0.25（即4个采样周期）的较长周期信号，例如cos[0.5πn]。这是系列[1,0，-1,0，…]。单位延迟产生系列[0,1,0，-1，…]，即cos[0.5πn-0.5π]=cos[0.5π（n-1）]，即输入信号相移-π/2弧度（-90度）。类似地，您可以计算出cos[0.25πn]的输入产生cos[0.25πn-0.25π]=cos[0.25π（n-1）]的输出，即输入相移-π/4弧度（-45度），等等

很明显，如果输入角频率为ω（例如0.5π），输出将相移Φ=-ω。将信号视为一列沿逆时针方向绕单位圆运行的列车，其时间序列值对应于该路线上的站点。角频率为0.5π意味着它在以下弧度值下停止4次：0，0.5π，π，1.5π。然后它返回到0，并一遍又一遍地重复该循环。如果该列车因停车而延误，则对应于预定路线上-0.5π弧度的偏移

回到H（f），我希望它能解释为什么它等于exp（-i2πf）=exp（-Iω）。类似地，如果系统的延迟为2，那么h[n]=δ[n-2]和h（f）=exp（-i4πf）=exp（-2iω）——这是单位圆上2次停止的延迟。这就是系统/滤波器的所有频率响应告诉你的，也就是说，作为频率的函数，一个系统对每个输入正弦信号的缩放和延迟有多大

FIR系统（即有限脉冲响应，对应于移动平均模型[MA]）是最简单的，因为它们只是前馈路径上的delta（即标度和延迟）函数的总和。IIR系统（即无限脉冲响应，对应于自回归模型[AR]）更值得分析，因为它们有反馈路径。

欺骗并使用Matlab:）

为了

做

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这里没有问题。你做得对。这不是正弦函数。欧拉方程中的符号函数如下所示： （e^jw-e^-jw）/j2

换句话说，你得到的是一个复数。 假设你的输入是x[n]=cos（pi/3*n）。系统的输出为 y[n]=H（e^jw）*x[n]

因此，将输入乘以频率响应，以pi/3作为数字频率。 cos（pi/3*n）=（e^pi/3*n+e^-pi/3*n）/2。因此，将您的输入视为两个独立的信号，一个频率为pi/3，另一个频率为-pi/3。作为输出的结果是e^-j（pi/3）*e^（pi/3*n）+e^j（pi/3）*e^（-pi/3*n） 等于2*cos（-pi/3*n-pi/3）。这是预期的，因为信号延迟

此外，将正弦波作为频率响应也没有什么错。

它不是“正弦波”。这是一个复杂的数字

H(e^it) = 0 + 1 * e^-it

y(n) = 0*x(n) + 1*x(n-1)  

b=[ 0 1 ];
a = 1;
freqz(b,a)