Floating point 理解IEEE中的指数00000000和11111111

我无法理解这些指数：

• 为什么指数

  0000 0000

  =-126而不是-127（即0-127）？
  • 指数的准确值是多少
  • 为什么

    011111100000000

    等于无穷大

我对这一切都很陌生，所以请用简单的俗语解释一下！谢谢

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单精度浮点的指数偏差为127。这意味着指数值127（

1000 0000

）被评估为实际指数零，指数值1（

0000 0001

）被评估为实际指数-126

所有零位或所有一位的指数值（

0000 0000

或

1111111

）不是实际指数，而是触发特殊情况行为。全零指数意味着尾数中没有隐含的前导一位；这是用来做运动的。一个全一指数用来标记值是无穷大，负无穷大，或者，取决于符号位和尾数位

对于进一步阅读，有一个很好的解释，用简单的术语，当然，如果你真的想了解细节，没有什么比这更好的了

为什么指数

0000 0000

=-126而不是-127（即0-127）

对于大多数正态指数，当我们到达有效位范围的底部时，我们会下降到下一个指数。例如，从1（包括）到2（排除）的可表示数字按降序排列：

• 1.11…111•20
• 1.11…110•20
• 1.11…101•20
• 1.11…100•20
• 1.00…011•20
• 1.00…010•20
• 1.00…001•20
• 1.00…000•20

然后，当转到下一个较低的数字时，我们调整指数，因此下一个较低的数字是：

• 1.11…111•2−一,
• 1.11…110•2−一,
• 1.11…101•2−一,
• 1.11…100•2−一,

现在，当我们处于最低正态指数时，该范围内的最低数值为：

• 1.00…011•2−126,
• 1.00…010•2−126,
• 1.00…001•2−126,
• 1.00…000•2−126

为了在这一点上继续，决定最后一步是将前导位改为0，而不是1。这里有一个选择：指数字段中带零的数字可以继续这个模式，继续到指数−127，那么下一个可表示的数字是1.11…111•2−127，或者他们可以坚持下去−126但将前导位改为0而不是1

如果模式继续，那么，例如，1.11…111•2−127和1.11…110•2−127都是可表示的数字，但它们的差值为0.00…001•2−127 = 1 • 2−150，将不具有代表性。因此，如果

x

和

y

是这些数字，由于四舍五入（当四舍五入到最接近的可表示值时），它们的计算差值

x-y

必须为0。然而，有时人们编写的代码是这样的：

if (x == y)
    Handle special case.
else
    Handle normal case with some calculation involving division by x-y.

所以继续指数模式−127会破坏一些代码，导致浮点运算以不希望的方式运行。因此，我们选择打破这种模式，将指数保持在−126，并使前导位为0而不是1。下一个可表示的数字是：

• 0.11…111•2−126,
• 0.11…110•2−126,
• 0.11…101•2−126,
• 0.11…100•2−126,
• 0.00…011•2−126,
• 0.00…010•2−126,
• 0.00…001•2−126,
• 0.00…000•2−126

你可以看到我们想要0.11…111•2−126刚过1.00…000•2−126如果它是0.11…111•2−127相反，会有一个一半大小的差距

指数1111111的准确值是多少

当指数字段为1111111时，它不表示正常浮点格式的任何数字指数。指数字段中的值是特殊值（无穷大和NaN）的代码

为什么0 1111111 0000 000等于无穷大

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这没有数学上的原因。对有效位和指数执行的任何数学运算都不会产生无穷大。刚刚决定，指数字段1111111将表示无穷大和NaN，当有效位字段全为零时，它表示无穷大，当有效位字段不全为零时，它表示NaN。

我理解了你写的大部分内容，但有一个问题：在1.00…000•2^-126之后，为什么不能用1.11…111•2^-127而不是0.11…111•2^-126？因为+/-

1.0*2^-127

之间还有很大的差距。通过将其指数保持在

2^-126

，非规范数正好填补了+/-

1.0*2^-126

之间的空白，包括

0

@doctopus:1.11…111•2^-127的实际相当重要的表示形式比0.11…111•2^-126更接近之前的数字（更大），但请注意，前面已经说过，我们决定将前导位改为0，而不是降低指数。做出这一决定的原因并不是要在那一点上减小间隙大小，而是因为它会产生算术特性。如果我们把指数降到−127，之后的下一步必须是归零，因为我们没有指数了。然后会存在不同的数字，它们的减法产生零……这可能会破坏人们编写的一些代码，例如

如果（x！=y）{做一些计算，包括除以x-y}

。例如，减去1.11…111•2^-127和1.11…110•2^-127在数学上是1•2^−150，但这无法表示，因此必须四舍五入为零。B