Floating point IEE754舍入模式：如何计算误差？

作为一个例子，这里是我编写的一个Java文件的输出。它具有每个数字的二进制表示形式，与我手动计算的尾数一致（截断/向下舍入）

看看67108868，很明显Java使用的是向零方向的半圆形，或者向偶数方向的半圆形。但是如何计算舍入误差呢？如果一个数字太大，无法正确地放入尾数，那么似乎不可能找到准确的错误。也许它使用右边的额外比特，但是对于许多分数，难道没有无限数量的比特需要考虑吗？

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我想知道如何在硬件或代码中实现舍入的具体细节。

要知道舍入结果是什么，不必知道精确结果的所有位（其中可能有无限多个位）。我们只需要知道有效位中的位、下一位以及剩余位是否都为零。这将产生四种情况（从圆形到最近的连接到偶数）：

• 拟合后的下一位为零，所有剩余位均为零：答案准确；没有错误
• 下一位为零，但并非所有剩余位都为零：向下舍入
• 下一位为1，所有剩余位均为零：误差正好为½ULP，因此四舍五入为偶数
• 下一位是1，但并非所有剩余位都是零：向上取整

对于简单的算术运算，如加法、减法、乘法和除法，通过计算固定数量的附加位或检查运算过程中产生的其他数据（例如执行长除法时计算的余数），可以轻松获得此信息

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对于像三角函数这样的复杂函数，我们没有完整的证明来描述产生必要信息所需的工作。大多数数学库实现的这些函数的版本不能保证正确舍入。如果需要正确的四舍五入，实现可以使用任意精度算法继续细化答案，直到确定结果是高于还是低于四舍五入点（½ULP）。

。那么对于trig的东西来说，仅仅计算这些额外的比特是不够的，还是我们根本不知道如何证明有多少比特是足够的？@warmCabin：一些额外的比特通常是足够的，但并不总是足够的，我们通常不知道需要多少比特。通常，越来越精确地计算函数的算法不会返回逐位结果。它给出了一些数字y，也许还有某种错误界限或指示。假设你知道答案是（y-e，y+e）。如果（y-e，y+e）中的每个数字舍入到相同的z，则返回z。否则，将结果细化为新的y1和更严格的错误e1，因此答案为（y1-e1，y1+e1）。但舍入变化的边界可能仍在该区间内……通常，我们不能提前说，在区间小到不跨越舍入边界之前，需要多少次算法迭代。CRlibm是一个涉及解决某些函数和某些浮点格式的问题的项目，它取得了有益的进展，但尚未完成。对于性能良好的函数，我们总是可以将估计细化到我们知道正确舍入结果的程度，但我们并不总是知道细化需要多长时间。

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