Functional programming lambda演算的真-假异或表达式

我试图在lambda演算的上下文中理解xor。我把异或（异或）理解为布尔逻辑运算 和xor的真值表

但是为什么它作为xor b=（a）（（b）（false）（true））（b）是真的 从…起 这确实是lambda微积分所期望的。当我看到 真=λab.a 假=λab.b

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我必须将true和false看作lambda calc true和false，因为在true的情况下，它返回第一个元素。但是，这里的xor也是一个名称，但与布尔逻辑中的xor不同，这理解正确吗？

直觉上，我们可以将xor B视为

如果是A，则不是B

否则，B

。。。。或者在一些伪代码中：

func xor (a,b)
  if a then
    return not b
  else
    return b

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让我们来计算lambda

true := λa.λb.a
false := λa.λb.b

true a b
// a

false a b
// b

接下来我们将执行

而不是

not := λp.p false true

not true a b
// b

not false a b
// a

下一步我们可以做
if
（注意，这有点傻，因为
true
和
false
的行为已经像
if
）

好的，最后写
xor

xor := λa.λb.if a (not b) b

(xor true true) a b
// b

(xor true false) a b
// a

(xor false true) a b
// a

(xor false false) a b
// b

记住
如果这里的
有点傻，我们可以把它去掉

xor := λa.λb.a (not b) b

现在，如果我们想用纯lambda编写它，只需用它的定义替换
not

xor := λa.λb.a (not b) b
->β [ not := λp.p false true ]

xor := λa.λb.a ((λp.p false true) b) b
->β [ p := b ]

xor := λa.λb.a (b false true) b

在这一点上，你可以从你的问题中看到我们的定义

a或b=（a）（（b）（假）（真））（b）

但当然，这引入了额外的自由变量
false
和
true
——你可以用几个额外的beta缩减来代替它们

xor := λa.λb.a (b false true) b
->β [ false := (λa.λb.b) ]

xor := λa.λb.a (b (λa.λb.b) true) b
->β [ true := (λa.λb.a) ]

// pure lambda definition
xor := λa.λb.a (b (λa.λb.b) (λa.λb.a)) b

以a（b F T）b为例，中间表达式本质上是（不是b），因此a（不是b）b仅在a和b不同时才为真。
顺便说一下，我假设真=λab.a假=λab.b与真=（λa.b.）a假=（λa.b.）b后者更像是教科书样式lambda演算逻辑与布尔逻辑相同。在lamba演算中，没有值，只有符号（名称）。TRUE不仅是函数，也是描述它的名称。当计算结果为λab.a时，不重要的是它是一个函数，更重要的是它是一个用符号TRUE描述的函数。另请参见：–所有值都是函数，偶数
0:=λf.λx.x
，
one:=λf.λx.fx
，
two:=λf.λx.f（fx）
，etcreated:–很酷的答案显示了从
xor := λa.λb.a (b false true) b
->β [ false := (λa.λb.b) ]

xor := λa.λb.a (b (λa.λb.b) true) b
->β [ true := (λa.λb.a) ]

// pure lambda definition
xor := λa.λb.a (b (λa.λb.b) (λa.λb.a)) b