Geometry 找到曲线上距离给定点最近的点

曲线实际上是公交车的轨迹，曲线由曲线上的许多（多达数千个）离散点表示（这些点由安装在公交车上的GPS设备记录）。 输入一个点P，我需要在曲线上找到离点P最近的点。点P通常距离公共汽车轨道不超过30m。注意，最近点不一定是GPS设备记录的点，它可能是两个记录点之间的某个点

首先，我需要一个算法来从这些记录点恢复轨迹。如果插值曲线能够显示公交车的急转弯，那就太好了。哪种曲线最适合此类任务？贝塞尔曲线足够好吗？最后我要计算曲线上最近的点，当然算法完全取决于选择的曲线类型

---

我正在做一些研究，在曲线插值方面没有太多的知识，所以欢迎您提出任何建议。

对于从记录点计算轨迹，我建议使用向心或弦长Catmull Rom样条线。有关更多详细信息，请参阅。Catmll Rom样条曲线实际上是特殊的三次Hermite曲线，可以很容易地转换为三次Bezier曲线。请注意，Catmull Rom样条曲线的结果通常仅为G1曲线。如果希望轨迹具有更高的连续性（如C2），可以使用自然三次样条曲线或常规B样条曲线插值。无论采用何种方法，建议样条曲线的阶数不高于5。三级学位是一个受欢迎的选择

一旦有了轨迹的数学表示，就可以计算给定点p和轨迹之间的最小距离。通常，点P和曲线C（t）之间的平方距离表示为D（t）=P-C（t）|^2。D的最小值将出现在其一阶导数为零的位置，这意味着我们必须找到以下方程的根：

dD/dt=2*（p-C（t））.C'（t）=0

当C（t）为3度时，dD/dt为5度。这就是为什么建议尽早使用低阶曲线的原因

---

有许多文献或在线资料讨论如何高效、稳健地找到多项式（任意阶）的根。下面是另一个可能有用的选项。

有许多可能的选项，但答案主要取决于您计划使用曲线的目的。在许多情况下，一个简单的多段线插值可以完成这项工作。。。对于点查找，只需找到与其最近的4个后续点，然后插值该点…cf。