Geometry 计算切线垂直于锚定线的三次贝塞尔T值

将三次贝塞尔曲线p1、p2、p3、p4投影到线p1、p4上。当p2或p3未投影到p1和p4之间的线段上时，曲线将从定位点凸出。当曲线的切线垂直于锚定线时，是否有方法计算T值

这也可以表示为在投影曲线距离线段p1、p4中心最远的位置查找T值。当p2和p3投影到线段上时，解分别为0和1。有一个方程式可以解决更有趣的问题吗

T值似乎仅取决于映射控制点与锚线段的距离

我可以通过完善猜测来确定价值，但我希望有更好的方法

编辑：

从值为x1、y1、…、x4、y4的2d中的p1、…、p4开始，我根据Philippe的答案使用以下代码：

dx = x4 - x1;
dy = y4 - y1;
d2 = dx*dx + dy*dy;
p1 = ( (x2-x1)*dx + (y2-y1)*dy ) / d2;
p2 = ( (x3-x1)*dx + (y3-y1)*dy ) / d2;
tr = sqrt( p1*p1 - p1*p2 - p1 + p2*p2 );
t1 = ( 2*p1 - p2 - tr ) / ( 3*p1 - 3*p2 + 1 );
t2 = ( 2*p1 - p2 + tr ) / ( 3*p1 - 3*p2 + 1 );

---

在我观察的样本中，t2必须从1.0中减去才是正确的。

假设你得到了一条1D三次贝塞尔曲线，其中

P0=0

和

P3=1

，那么曲线是：

P(t) = b0,3(t)*0 + b1,3(t)*P1 + b2,3(t)*P2 + b3,3(t)*1

式中，

bi，3（t）

为3级。然后我们寻找

t

的值，其中

P（t）

是最小值和最大值，因此我们得出：

P'(t) = b1,3'(t)*P1 + b2,3'(t)*P2 + b3,3'(t)
      = (3 - 12t + 9t^2)*P1 + (6t - 9t^2)*P2 + 3t^2
      = 0

这有一个封闭形式但非平凡的解。根据WolframAlpha的说法，当

3P1-3P2+1！=0

它是：

t = [2*P1 - P2 +/- sqrt(P1^2-P1*P2-P1+P2^2)] / (3*P1 - 3*P2 + 1)

否则就是：

t = 3P1 / (6P1 - 2)

对于一般的n维三次Bézier P0*，P1*，P2*，P3*计算：

P1 = proj(P1*, P03*) / |P3* - P0*|
P2 = proj(P2*, P03*) / |P3* - P0*|

其中

proj（p，P03*）

是从

P0*

到通过

P0*

和

P3*

的直线上投影的点

p

的有符号距离

---

（我没有检查这个，所以请确认我的推理没有错误。）

让我们假设你得到了一条一维三次贝塞尔曲线，其中

P0=0

和

P3=1

，那么曲线是：

P(t) = b0,3(t)*0 + b1,3(t)*P1 + b2,3(t)*P2 + b3,3(t)*1

式中，

bi，3（t）

为3级。然后我们寻找

t

的值，其中

P（t）

是最小值和最大值，因此我们得出：

P'(t) = b1,3'(t)*P1 + b2,3'(t)*P2 + b3,3'(t)
      = (3 - 12t + 9t^2)*P1 + (6t - 9t^2)*P2 + 3t^2
      = 0

这有一个封闭形式但非平凡的解。根据WolframAlpha的说法，当

3P1-3P2+1！=0

它是：

t = [2*P1 - P2 +/- sqrt(P1^2-P1*P2-P1+P2^2)] / (3*P1 - 3*P2 + 1)

否则就是：

t = 3P1 / (6P1 - 2)

对于一般的n维三次Bézier P0*，P1*，P2*，P3*计算：

P1 = proj(P1*, P03*) / |P3* - P0*|
P2 = proj(P2*, P03*) / |P3* - P0*|

其中

proj（p，P03*）

是从

P0*

到通过

P0*

和

P3*

的直线上投影的点

p

的有符号距离

---

（我还没有检查这个，所以请确认我的推理没有错。）

你也可以试试你也可以试试sqrt（…P2*2）应该是P2^2谢谢，这是预期的效果。在我的试验中，当从+/-中获得两个有效值时，需要从1.0中减去+结果。有时可能是相反的。它可能来自于您计算

proj（）

的方式。它需要是距离

P0*

的有符号距离，这意味着如果它投影到

P0*

的一侧，远离

P3*

它应该是负数。sqrt（…P2*2）应该是P2^2谢谢，这是可以预期的。在我的试验中，当从+/-中获得两个有效值时，需要从1.0中减去+结果。有时可能是相反的。它可能来自于您计算

proj（）

的方式。它需要是距离

P0*

的有符号距离，这意味着如果它投影到

P0*

的一侧，远离

P3*

，它应该是负数。