Geometry 对于不规则多边形中的点，选择最靠近该点的边的最有效方法是什么？

给定一个不规则多边形和该多边形内的一个点，如何确定多边形中最靠近该点的边

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我可能需要对多边形内的一大组点（例如50-200点）进行此计算。

请阅读此文章，以获得灵感或此文章

计算直线上与多边形每条边相切的最近点

计算每个线段（多边形的边）上距离所讨论的点最近的点

计算每个线段上最近点到相关点的距离

找到最小距离。对应的具有最小距离的多边形边就是答案

该算法的每一步都是线性时间（O（n））

以下是每个步骤的基本公式：

计算直线上与多边形每条边相切的最近点。

• 设多边形边的一个端点为

  p1={x1，y1}

• 让多边形边的另一个端点为

  p2={x2，y2}

• 让正在分析的多边形中的点为

  p3={x3，y3}

• 假设

  u

  是p1和p2之间距离的百分比，这是找到p1和p2形成的线上的点所需的，因此

  p1+u（p2-p1）

  =线上最靠近p3的点（该点和p3之间的线段恰好与穿过p1和p2的线垂直）

• u=（（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1））/（（x2-x1）^2+（y2-y1）^2）

• 让p1和p2形成的直线上最靠近p3的点称为

  pu={xu，yu}

• xu=x1+u（x2-x1）

• yu=y1+u（y2-y1）

• 就像我们之前说的pu={xu，yu}
• 对每个多边形边重复这些计算（即替换为新的p1s和p2s）

计算每个线段（多边形的边）上与所讨论的点最近的点。

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当

0正确答案取决于问题的整体结构时，点
pu
仅是线段上最近的点：当考虑多个查询时会发生什么？我假设每个查询将处理不同的点。但是多边形呢？您是否希望收到同一多边形的多个查询？还是每次多边形都不一样

如果每个查询都应用于不同的、不可预测的多边形，那么唯一的解决方案就是对所有多边形边进行全面检查，并对每个边进行点到段距离测试。它可以通过各种[启发式]方式进行优化（尽早放弃不必要的测试），但在最坏的情况下，没有办法绕过完整的测试

但是，如果您希望问题的多边形方面具有某种可预测性和稳定性（对同一个多边形或固定的一组多边形进行足够多的点查询），则情况会发生显著变化。在这种情况下，最好的方法是在多边形内部预构建基于边的Voronoi图。然后，您可以解决点定位问题（有已知的有效算法），以确定查询点属于哪个Voronoi区域。这将立即告诉您哪条边是最近的

当您需要处理对同一个多边形的多个点查询时，后者的效率要高得多，但需要付出相当大的努力才能实现。所以，这完全取决于你需要什么样的解决方案

另外，我看到你在问题中说，你将对单个多边形的一大组点运行它。这立即使基于Voronoi图的解决方案成为可能。算法的额外细微差别可能取决于这一大组点是完全提前知道的，还是以不可预测的方式逐点到达的。
因为仅在100个点的数量级上，这不是一个大的点集，除非你做了无数次，或者除非多边形本身有无数条边。在某些情况下，四叉树分解可能会有所帮助。在你到达这一点之前，很容易计算出点到线段的距离，即使是矢量形式，如果你的语言允许这样的计算。我认为
#中有输入错误，否则如果u>0，那么pc=p2
。。。应该是u>1吗？谢谢！我非常喜欢这个答案，但有一件事我注意到了。在
u
公式中有一个“输入错误”。（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1）的结果必须除以（x2-x1）^2+（y2-y1）^2，因此需要进行适当的分组。我已经在做这个了。为什么没有支持不规则边界多边形的C#轻量级Voronoi库？我想写我自己的图书馆，但到目前为止，我发现的唯一信息是数学符号和结构，我不熟悉。因此，我想出了一种快速简便的方法（也许不是最有效的）来计算Voronoi图，那就是首先执行Delaunay三角剖分，并使用Voronoi顶点的质心，然后，对于未平分的Delaunay边，在边界多边形的边上运行一条新的平分线。（字符用完了…）。。。在外部质心和每个质心的最近边界多边形边之间运行线将为我提供Voronoi图所需的所有外部多边形。如果我有一个干净、高效、轻量级的支持不规则多边形的Voronoi库，我甚至不需要问这个问题。