Graphics 计算变换球体的AABB_Graphics_Aabb

Graphics 计算变换球体的AABB

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Graphics 计算变换球体的AABB,graphics,aabb,Graphics,Aabb,我有一个球体，在物体空间中用一个中心点和一个半径来表示。球体通过变换矩阵变换到世界空间，变换矩阵可能包括缩放、旋转和平移。我需要为世界空间中的球体构建一个轴对齐的边界框，但我不确定如何实现以下是我目前的方法，适用于某些情况： public void computeBoundingBox() { // center is the middle of the sphere // averagePosition is the middle of the AABB // get

我有一个球体，在物体空间中用一个中心点和一个半径来表示。球体通过变换矩阵变换到世界空间，变换矩阵可能包括缩放、旋转和平移。我需要为世界空间中的球体构建一个轴对齐的边界框，但我不确定如何实现

以下是我目前的方法，适用于某些情况：

public void computeBoundingBox() {
    // center is the middle of the sphere
    // averagePosition is the middle of the AABB
    // getObjToWorldTransform() is a matrix from obj to world space
    getObjToWorldTransform().rightMultiply(center, averagePosition);

    Point3 onSphere = new Point3(center);
    onSphere.scaleAdd(radius, new Vector3(1, 1, 1));
    getObjToWorldTransform().rightMultiply(onSphere);

    // but how do you know that the transformed radius is uniform?
    double transformedRadius = onSphere.distance(averagePosition);

    // maxBound is the upper limit of the AABB
    maxBound.set(averagePosition);
    maxBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(1, 1, 1));

    // minBound is the lower limit of the AABB
    minBound.set(averagePosition);
    minBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(-1,-1,-1));
}

然而，我怀疑这是否会一直奏效。非均匀缩放不应该失败吗？

这不适用于非均匀缩放。用拉格朗日乘子（KKT定理）计算任意可逆仿射变换是可能的，我相信它会变得丑陋

但是-您确定需要准确的AABB吗？可以通过变换球体的原始AABB并获得其AABB来近似它。它比精确的AABB大，因此可能适合您的应用程序

为此，我们需要三个伪函数：

GetAABB（球体）

将获取球体的AABB

GetAABB（点列表）

将获取给定点集的AABB（所有点的最小/最大坐标）

GetAABBCorners（p，q）

将获得AABB的所有8个角点（p和q在其中）

通常，变换后的球体将是某种椭球体。要得到一个精确的边界框并不难；如果您不想完成所有的数学运算：

请注意，
```
M
```
是变换矩阵（缩放、旋转、平移等）
阅读下面的
```
S
```
的定义
计算
```
R
```
，如末尾所述
如前所述，基于
```
R
```
计算
```
x
```
、
```
y
```
和
```
z
```
边界

一般二次曲线（包括球体及其变换）可以表示为对称4x4矩阵：当

p^ts p<0

时，齐次点

位于二次曲线

内。通过矩阵M变换空间按如下方式变换S矩阵（下面的约定是点是列向量）：

适用于平面而非点的二次曲线的对偶由S的逆表示；对于平面q（表示为行向量）：

因此，您正在寻找与变换的圆锥曲线相切的轴对齐平面：

let (M S^-1 M^t) = R = [ r11 r12 r13 r14 ]  (note that R is symmetric: R=R^t)
                       [ r12 r22 r23 r24 ]
                       [ r13 r23 r33 r34 ]
                       [ r14 r24 r34 r44 ]

axis-aligned planes are:
  xy planes:  [ 0 0 1 -z ]
  xz planes:  [ 0 1 0 -y ]
  yz planes:  [ 1 0 0 -x ]

要查找与R相切的xy对齐平面，请执行以下操作：

  [0 0 1 -z] R [ 0 ] = r33 - 2 r34 z + r44 z^2 = 0
               [ 0 ]
               [ 1 ]
               [-z ]

  so, z = ( 2 r34 +/- sqrt(4 r34^2 - 4 r44 r33) ) / ( 2 r44 )
        = (r34 +/- sqrt(r34^2 - r44 r33) ) / r44

类似地，对于xz对齐的平面：

      y = (r24 +/- sqrt(r24^2 - r44 r22) ) / r44

      x = (r14 +/- sqrt(r14^2 - r44 r11) ) / r44

和yz对齐平面：

      y = (r24 +/- sqrt(r24^2 - r44 r22) ) / r44

      x = (r14 +/- sqrt(r14^2 - r44 r11) ) / r44

这为变换后的球体提供了一个精确的边界框。

@comingstorm的答案很好，但可以简化很多。如果

是球体的变换矩阵，从1开始索引，则

x = M[1,4] +/- sqrt(M[1,1]^2 + M[1,2]^2 + M[1,3]^2)
y = M[2,4] +/- sqrt(M[2,1]^2 + M[2,2]^2 + M[2,3]^2)
z = M[3,4] +/- sqrt(M[3,1]^2 + M[3,2]^2 + M[3,3]^2)

（这假设球体在变换之前半径为1，其中心位于原点。）

我写了一篇带有证明的博文，这对于合理的堆栈溢出答案来说太长了。

@comingstorm的答案很优雅，因为它使用了齐次坐标和二次曲线的对偶性

该问题也可以看作是一个约束最大化问题，可以用拉格朗日乘子法求解。以y轴上的AABB为例。优化目标是

约束条件是椭球方程

拉格朗日方程是

其中lambda是乘数。极值只是下列方程的解

给

这是哪种语言？（看起来像Java。）看起来像C#，但这确实是一个语言不可知的问题，我不需要确切的AABB。然而，我不确定你建议的替代方案是什么。（你能提供伪代码吗？）我应该从未转换的球体生成由两点定义的原始AABB，然后转换这两点，然后…？当然。为此，我们需要三个伪函数：GetAABB（sphere）将获得球体的AABB。GetAABB（点列表）将获得给定点集的AABB（所有点上的最小/最大坐标）。GetAABBCorners（p，q）将获得AABB的所有8个角点（p和q在其中）。（p，q）=GetAABB（球面）；V=获得aabbpoints（p，q）；对于i=1到8，do V[i]=变换（T，V[i]）；（p，q）=GetAABB（V）；好啊我看到评论中的张贴代码不起作用。我将编辑我的答案：）注意

是一个对合矩阵，因此

S^-1

x = M[1,4] +/- sqrt(M[1,1]^2 + M[1,2]^2 + M[1,3]^2)
y = M[2,4] +/- sqrt(M[2,1]^2 + M[2,2]^2 + M[2,3]^2)
z = M[3,4] +/- sqrt(M[3,1]^2 + M[3,2]^2 + M[3,3]^2)