Haskell 无点组合器中的模式，与SKI演算有何关系

作为练习，我将以下combinator转换为无点表示法：

h f g x y z = f x (g y z)

通常的惯例是将

f

，

g

，

h

作为函数，将

x

，

y

，

z

作为表达式。（这不是家庭作业问题，只是为了好玩，看看我是否理解无点转换。）

在

ghci

的帮助下，经过漫长的手动重写过程后，我得到了以下结果：

h = ((flip (.)) (flip (.)) . (flip (.))) . ((.)(.))

我注意到

h

只包含两个组合词，“compose”

（.）

和“reverse compose”

翻转（.）

。这样，原始combinator可以简洁地写成：

c = (.) -- compose
r = flip c -- "reverse compose"
h = ((r r) . r) . (c c)
   = c(c(r r)r)(c c)

“组合”和“反向组合”操作的结构（数量和顺序）似乎在某种程度上与原始组合器的结构有关

我认为这与组合逻辑和SKI演算直接相关。因此，我的问题是：

有人能解释一下这里发生了什么：无点组合器中的“组合”和“反向组合”的结构与有点组合器中的函数和表达式的结构有什么关系

这是否可以推广到任意组合子（即函数数、表达式数及其顺序是任意的）？更具体地说，每个组合词都可以用“组合”和“反向组合”来表达吗？是否有一个方案可以直接从有点组合词的结构中导出“组合”和“反向组合”的组合（即，不经过完整的重写过程）？例如，是否可以仅从函数结构直接派生出无点版本的

\f g x y z->（f x y）g z

在组合逻辑中，

c

和

r

的名称是什么

更新：

---

似乎

c

是

B

组合器，

r

是

CB

。但我仍然很乐意深入了解我的问题，特别是问题1和问题2。

首先，通过组合形式的直接操作通常更容易得出定义：

h f g x y z = f x (g y z)
            = B(fx)(gy)z     -- B rule
            = B(B(fx))gyz    -- B rule
h f g x = B(B(fx))g          -- eta-contraction
        = BBB(fx)g           -- B rule
        = B(BBB)fxg          -- B rule
        = C(B(BBB)f)gx       -- C rule
h f = C(B(BBB)f)             -- eta-contraction
    = BC(B(BBB))f            -- B rule
h   = BC(B(BBB))             -- eta-contraction
 -- = B(B(CB(CB))(CB))(BB)   -- your expression

虽然我的表达式较短，但类型相同。这能作为组合形式是否应该遵循给定定义的反例吗？在规则的应用上有相当大的自由度，因此可以衍生出广泛不同的形式。我不认为从一个给定的组合表达式中可以得到多少洞见

如果有什么区别的话，最终翻译中出现的组合词更能代表所采取的派生步骤，并且可以在任何给定的点上从适合的组合词中自由选择

例如，在导出表达式时通常会执行以下步骤，显然：

g(fx) = Bgfx = CBfgx 

B (B (CB(CB)) (CB)) (BB) f g x y z
   = B (CB(CB)) (CB) (BB f) g x y z
   = CB (CB) (CB (BB f)) g x y z     --   and here
   = CB (BB f) (CB g) x y z          --  here
   = CB g (BB f x) y z               -- here
   = BB f x (g y) z
   = B (f x) (g y) z
   = f x (g y z)

---

但是，如果您对规则应用程序进行优先级排序并使其具有确定性，那么您应该始终得到相同的结果——这取决于您应用规则的顺序

如果一个变量在rhs上出现不止一次，则B和CB不再足够（需要例如S）。如果一个变量根本没有出现，那么它们对于2来说也是不够的（需要例如K），括号抽象是SKI的一个简单算法。你可以找到augustss提到的括号变换（我想）。augustss：非常有趣，谢谢。关于组合微积分，有什么好的介绍性文章可以学习？威尔：谢谢你的参考。操作组合形式确实比我的有点到无点转换过程简单得多（我有大约三倍的中间步骤）。但是，遗憾的是，显式转换似乎仍然是必要的。我希望组合形式的结构与有点形式直接相关。如果不是一般情况，至少对于特殊情况，例如

f_{0，n_0}f_{1，n_1}。。。f{K-1，n{K-1}

，其中

f{i，n}:=f{i xiu 0 xiu 1。。。xi{n-1}

（即，

K

函数

f_0，…，f_K

，每个函数都有一个相互不相交的变量[xiu 0，…，xi_{n-1}]）。这似乎与所采取的转换步骤直接相关。