Haskell 允许递归调用之间存在依赖关系的递归方案（有序亚同态？）

我对编写递归代码的高阶方法（递归方案）感兴趣，其中递归调用之间可能存在依赖关系

作为一个简化的例子，考虑遍历整数树的函数，检查总和是否小于某个值。我们可以对整棵树求和，并将其与最大值进行比较。或者，一旦超过最大值，我们可以保持运行和短路：

data Tree = Leaf Nat | Node Tree Tree

sumLT :: Nat -> Tree -> Bool
sumLT max t = sumLT' max t > 0

sumLT' :: Nat -> Tree -> Int
sumLT' max (Leaf n) = max - n
sumLT' max (Node l r) = 
  let max' = sumLT' max l
   in if max' > 0 then sumLT' max' r else 0

有没有一种方法可以用递归方案来表达这个想法——本质上是有序遍历？我感兴趣的是尽可能一般地组成这样的有序遍历

理想情况下，我希望使用某种方式来编写遍历，其中在数据结构上折叠（或展开）的函数决定遍历的顺序。无论我最终得到什么抽象，我都希望能够编写上面的

sumLT'

遍历的逆序版本，我们从右向左：

sumLT'' :: Nat -> Tree -> Int
sumLT'' max (Leaf n) = max - n
sumLT'' max (Node l r) = 
  let max' = sumLT'' max r
   in if max' > 0 then sumLT'' max' l else 0

---

与往常一样，折叠到endo函数中会给您一个处理顺序/状态传递的概念：

import Numeric.Natural

data Tree = Leaf Natural | Node Tree Tree

cata :: (Natural -> r) -> (r -> r -> r) -> Tree -> r
cata l n (Leaf a)     = l a
cata l n (Node lt rt) = n (cata l n lt) (cata l n rt)

sumLT :: Natural -> Tree -> Bool
sumLT max t = cata (\ a max -> max - a)     -- left-to-right
                   (\ l r max -> let max' = l max in
                        if max' > 0 then r max' else 0)
                   t max > 0

sumLT' :: Natural -> Tree -> Bool
sumLT' max t = cata (\ a max -> max - a)     -- right-to-left
                    (\ l r max -> let max' = r max in
                         if max' > 0 then l max' else 0)
                    t max > 0

试一试：

> sumLT 11 (Node (Leaf 10) (Leaf 0))
True

> sumLT 11 (Node (Leaf 10) (Leaf 1))
False

> sumLT 11 (Node (Leaf 10) (Leaf undefined))
*** Exception: Prelude.undefined

> sumLT 11 (Node (Leaf 11) (Leaf undefined))
False

> sumLT 11 (Node (Leaf 10) (Node (Leaf 1) (Leaf undefined)))
False

> sumLT' 11 (Node (Leaf undefined) (Leaf 11))
False

---

与往常一样，Haskell的懒惰让他能够提前短路/退出。从示例中可以看出，如果cata的第二个参数（节点折叠函数）不要求其参数之一的值，则实际上根本不会访问相应的分支。

我会利用Haskell的惰性来发挥我的优势。将树转换为列表（这是一个反同构），创建部分和，然后找到第一个大于限制的

{-# language DeriveFoldable #-}

module ShortSum where
import Data.Foldable
  
data Tree a = Leaf a | Node (Tree a) (Tree a)
  deriving Foldable

type Nat   = Int
type TreeN = Tree Nat

sumLt :: Nat -> TreeN -> Bool
sumLt mx = any (> mx) . scanl1 (+) . toList

---

你没有整数树，你有一个没有值的树。因此，

sumLT'

不会编译。请确保您的示例代码确实编译，除非您的问题是代码为什么不编译。好的捕获谢谢

Int

s可以是否定的。你的意思是使用

自然的
？或者假设一个足够小的足够非负的
Int
s，它们就不会被包围？这又是一个很好的发现。让我们让em
Nat
s，并假设我们有一个定理证明器或其他东西。这个例子（显然考虑不周）有点离题——我只是想举一个递归遍历的简单例子，其中递归调用之间存在依赖关系。我想你最好使用
Foldable
或
MFoldable
之类的东西来处理这类事情，因为它们是按顺序烘焙的
foldr
当然可以胜任这项任务。酷！我想这可能正是我想要的——我的实际用例比我的示例要复杂一点（在获得有用答案方面可能是个错误），但我应该能够使用这个想法！