Haskell 递归选择排序正确性证明

我需要证明以下代码（在Haskell中）总是在排序：

import Data.List (minimum, delete)

ssort :: Ord t => [t] -> [t]
ssort [] = []
ssort xs = let { x = minimum xs } in  x : ssort (delete x xs)

我们可以假设我们有一个名为“排序的”函数，用于检查列表的排序时间

通过结构归纳法证明的陈述：排序（ssort xs）

我尝试了以下方法，但未能完成验证。你能帮我完成这个证明吗

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基本情况：xs=[]

已排序（ssort xs）=

已排序（ssort[]）=

已排序（[]））

正确，因为排序（[]）始终是排序的

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感应步骤

IH（归纳假设）=排序（ssort xs）

显示：已排序（ssort y#xs）

情况一：x=y=最小值

已排序（ssort y#xs）=

排序（设x:ssort中的{x=最小值（y#xs）}（删除x（y#xs）））= （根据定义）

排序（让y:ssort中的{y=最小值（y#xs）}（删除y（y#xs）））= （通过替换）

已排序（y:ssort（删除y（y#xs）））=

排序（y:ssort（xs））=（按删除定义）

排序（y:ssort（xs））

通过IH我们知道ssort（xs）是排序的，y是最小值 所以它是第一个

情况二：y不是最小值

已排序（ssort y#xs）=

排序（设x:ssort中的{x=最小值（y#xs）}（删除x（y#xs）））= （根据定义）

不知道

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你的归纳假设太弱了。您应该假设

ssort

在任何长度

k

的列表上都能正确工作，而不是在长度

k

的特定列表上

因此，相反，假设

ssort

在任何长度

k

的列表上都是正确的，并让

xs

成为任何长度

k+1

的列表

ssort xs 
= let x = minimum xs in x : ssort (delete x xs) -- by definition of `ssort`
= let x = minimum xs in x : sorted (delete x xs) -- `delete x xs` has length `k` so `ssort` sorts it correctly by IH
= sorted xs -- by definition of sorted, minimum, delete

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旁注：要证明排序函数正确，还需要演示两件事：1。计算最终终止，以及2。函数的结果是其参数的排列（没有任何元素被删除、翻倍或添加）。此外，出于价值考虑，我怀疑您会发现证明插入排序的实现是正确的更容易，这或多或少会直接导致您证明合并排序是正确的。证明选择排序正确似乎有点死胡同；一些类似的想法在堆排序中出现，但在很大程度上不同。@dfeur我承认，elide给出的案例有一些细节，但是终止和置换在本质上不都包含在与本文相同的归纳中吗？阅读

n

上的归纳，将其理解为“

ssort

以任何长度

n

输入的正确输出（即排序排列）终止”。是的，我们假设一些类型类法则连接了

eq

，

ord

实例，

delete

的一些属性，可能还有一些其他的东西，但是证明的基本结构不需要修改来解释这些细节？@moonGoose，你可能是对的。我知道，在正式的证明中，正确地使用排列位是相当困难的，但在非正式的证明中，这可能并不坏。