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Haskell 如何使用自由单子表示延续单子？

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据推测，所有单子都可以用
Free
表示（如果不是这样，反例是什么，为什么）？如何使用或来表示或其对应的变换器-对应的函子是什么？或者如果他们不能，原因是什么

更新：我所说的expressed是指基本上同构于
Free F
，其中
F
是我们正在寻找的一个函子，例如
Writer w
同构于
Free（，）w）

延续单子是您正在寻找的反例。我没有足够的知识来提供一个完整的证据，但我会给你一些参考资料以供查阅

这个想法是单子有一个与之相关的“等级”概念。“等级”大致意思是 提供monad的全部功能所需的操作数

我怀疑，除了延拓派生的单子之外，我们在Haskell中处理的所有单子都有秩，例如，
标识
，
可能
，
状态
，
或者e
，…，以及它们通过变换器的组合。例如，
标识
不通过任何操作生成，
可能
由
无
生成，
状态s
由
获取
和
放置s
和
或e
由
左e
生成。（也许这表明它们实际上都有有限的秩，或者，
put s
对每个
s
计算为不同的操作，因此
状态s
的秩大小为
s
，我不确定。）

自由单子当然有秩，因为
freeff
是由
f
编码的操作显式生成的

以下是等级的技术定义，但不是很有启发性：

在这里，您可以看到延续单子没有秩的声明：。我不确定他们是如何证明这一点的，但这意味着延续单子不是由任何操作集合生成的，因此不能表示为自由单子的商

希望有人能过来整理一下我的技术问题，但是这就是你想要的证明的结构。

这里有两个小小的证明，证明不存在一个
函子f
，这样对于所有
a:*
和
m:*->*
freetfma
使用
FreeT
的正常解释就相当于
conttrma

让
m:：*->*
这样就没有实例
函子m
。由于
实例函子（ContT r m）
存在一个实例
函子（ConT r m）
。如果
conttr
和
freetf
是等价的，我们期望
函子（freetfm）
。然而，使用
FreeT
，
实例（函子f，函子m）=>函子（FreeT fm）
的正常解释，没有
函子（FreeT fm）
实例，因为没有
函子m
实例。（我将
FreeT
的正常解释从要求
Monad m
放宽为只要求
Functor m
，因为它只使用
liftM
）

让
m:：*->*
这样就没有实例
Monad m
。由于
实例Monad（ContT r m）
存在一个实例
Monad（ConT r m）
。如果
conttr
和
freetf
是等价的，我们期望
Monad（freetfm）
。然而，使用
FreeT
，
实例（函子f，单子m）=>Monad（FreeT fm）
的正常解释，没有
Monad（FreeT fm）
实例，因为没有
Monad m
实例

如果我们不想使用
Free
或
FreeT
的正常解释，我们可以拼凑出像
contr
或
contr
一样工作的怪物。例如，有一个
函子（fr）
，
Free（fr）a
可以等价于
contr a
，使用
Free
的异常解释，即
contr
本身。

这里有一个愚蠢的答案，表明你的问题和我先前的答案都需要解决

Cont
可以使用
Free
轻松表达：

import Control.Monad.Free
import Control.Monad.Trans.Cont

type Cont' r = Free (Cont r)

quotient :: Cont' r a -> Cont r a
quotient = retract

Cont
当然是自由单子自身的商。因此，现在你必须明确你所说的“表达”是什么意思。让我们考虑<代码> r=布尔-< /代码>（或者更一般地说，任何类型的<代码> r>代码>，它承认一个非平凡的自同构。 将
m
（最多新类型包装器）定义为
m:（（）->Bool）->Bool；mf=not（f（））
。那么
m
是不平凡的，但是
m>>m
是微不足道的。因此，
contbool
与自由单子不同构

Haskell中的完整计算：

rwbarton@morphism:/tmp$ ghci
GHCi, version 7.8.3: http://www.haskell.org/ghc/  :? for help
Loading package ghc-prim ... linking ... done.
Loading package integer-gmp ... linking ... done.
Loading package base ... linking ... done.
Prelude> import Control.Monad.Cont
Prelude Control.Monad.Cont> let m :: Cont Bool (); m = ContT (\f -> fmap not (f ()))
Loading package transformers-0.3.0.0 ... linking ... done.
Prelude Control.Monad.Cont> runCont m (const False) -- m not trivial
True
Prelude Control.Monad.Cont> runCont (m >> m) (const False)
False
Prelude Control.Monad.Cont> runCont (m >> m) (const True) -- (m >> m) trivial
True
第二篇论文肯定地断言，连续单子没有秩，不能将连续单子与其他许多单子求和，但我找不到一个论点，证明它不是自由单子的像/商。在我看来，把第一篇关于排名的论文称为“不是很有启发性”似乎是一种轻描淡写的说法！你能帮点忙吗？你好，安德鲁。所需的组件应该是单子的商的秩不大于原始值。但我不知道如何证明这一点。关于职级的具体情况，恐怕我不能提供更多的信息。参考资料很难获得，我对“生成所需的操作数”只有直观的理解。我不知道这是否正确，虽然我认为它接近正确。我会小心将这种基数论点从集合转移到哈斯克。毕竟Hask承认了诸如类型
newtypex=X（X->Bool）
之类的东西