Haskell中与公共单子对应的伴随函子对是什么？

在范畴论中，一个单子可以由两个伴随函子构成。特别是，如果C和D是类别，而F:C-->D和G:D-->C是伴随函子，则在存在双射的意义上

hom（FX，Y）=hom（X，GY）

对于C中的每个X和D中的每个Y，组合gof:C-->C是一个单子

---

通过固定类型

b

并将

F

和

G

取为

data F b a = F (a,b)
data G b a = G (b -> a)

instance Functor (F b) where
  fmap f (F (a,b)) = F (f a, b)

instance Functor (G b) where
  fmap f (G g) = G (f . g)

hom集之间的双射通过下列公式给出（模构造函数）：

iso1 :: (F b a -> c) -> a -> G b c
iso1 f = \a -> G $ \b -> f (F (a,b))

iso2 :: (a -> G b c) -> F b a -> c
iso2 g = \(F (a,b)) -> let (G g') = g a in g' b

在这种情况下，对应的monad是

data M b a = M { unM :: b -> (a,b) }

instance Monad (M b) where
    return a    = M (\b -> (a,b))
    (M f) >>= g = M (\r -> let (a,r') = f r in unM (g r') a)

我不知道这个单子的名字应该是什么，除了它看起来像一个读卡器单子，它携带了一段可写的信息（edit:dbaupp在评论中指出这是

状态

monad）

因此，

状态

单子可以“分解”为一对伴随函子

F

和

G

，我们可以编写

State = G . F

到目前为止，一切顺利

---

我现在正试图找出如何将其他常见的单子分解成成对的伴随函子-例如，

也许

，

[]

，

读取器

，

编写器

，

Cont

-但我无法找出我们可以将它们“分解”成的成对伴随函子

唯一简单的情况似乎是

Identity

单子，它可以分解为任何一对函子

F

和

G

，这样

F

与

G

是相反的（特别是，你可以取

F=Identity

和

G=Identity

）

---

有人能解释一下吗？

你要找的是。它最初是为了证明每个单子都可以由两个伴随函子构成

问题是Haskell

函子

不是泛型函子，而是Haskell范畴中的内函子。因此，我们需要一些不同的（AFAIK）来表示其他类别之间的函子：

{-# LANGUAGE FunctionalDependencies, KindSignatures #-}
import Control.Arrow
import Control.Category hiding ((.))
import qualified Control.Category as C
import Control.Monad

class (Category c, Category d) => CFunctor f c d | f -> c d where
    cfmap :: c a b -> d (f a) (f b)

请注意，如果我们对

c

和

d

都使用

->

，我们会得到一个Haskell类的内函子，它就是

fmap

的类型：

cfmap :: (a -> b) -> (f a -> f b)

现在我们有了显式类型类，它表示两个给定类别

c

和

d

之间的函子，我们可以表示给定单子的两个伴随函子。左图将对象

a

映射到just

a

，并将变形

f

映射到

（return.）f

：

-- m is phantom, hence the explicit kind is required
newtype LeftAdj (m :: * -> *) a = LeftAdj { unLeftAdj :: a }
instance Monad m => CFunctor (LeftAdj m) (->) (Kleisli m) where
    cfmap f = Kleisli $ liftM LeftAdj . return . f . unLeftAdj
    -- we could also express it as liftM LeftAdj . (return .) f . unLeftAdj

右边的一个将一个对象

a

映射到对象

ma

，并将一个态射

g

映射到

连接。liftM g

，或等效于

（=），其中
cfmap（Kleisli g）=右调整。参加liftM g。不公正的
--这可以缩短为rightaj。（=

可能
来自自由函子，属于点集范畴，而健忘函子又回到了点集范畴
[]
来自自由函子，属于幺半群的范畴，而健忘函子又回来了

但这两个范畴都不是哈斯克的子范畴。
正如你所观察到的，每对伴随函子都会产生一个单子。反之亦然：每一个单子都是以这种方式产生的。事实上，它以两种规范的方式产生。一种是佩特描述的克莱斯利构造；另一种是艾伦伯格-摩尔构造。的确，克莱斯利s是最初的这种方式，E-M是最终的方式，在一对合适的伴随函子中。它们是在1965年独立发现的。如果你想知道细节，我强烈推荐。
你构造的单子就是状态单子。啊，当然。我会把它添加到我的单子列表中“有几次我在没有意识到的情况下重新发明了一个著名的monad实例。“将一个单子分解为指定函子的组合并不是唯一的，事实上，对于任何一个单子，都有一个完整的此类分解类别。可能最有用的两种分解是终端分解和初始分解：右伴随是（1）单子代数范畴中的健忘函子（Eilenberg-Moore类别）和（2）单子的自由代数类别（Kleisli类别）。@Omar:这个类别叫什么？@Sebastien:我认为它没有一个完全标准化的名称，但如果你称它为“单子的附加类别”每个人都会知道你的意思。谢谢Tom。我已经完成了这两个函数的细节——现在，我想知道其他例子中对应的函子是什么。而
contr
来自逆变函子opr:Hask^Op-->Hask本身的附加，opra=a->r。很确定这两个都是Eilenb感谢杰里米——有几个人向我推荐了猫咪，我真的应该去看看。艾伦伯格·摩尔为州立单子所做的附属品的F-| G是什么？
newtype RightAdj m a = RightAdj { unRightAdj :: m a }
instance Monad m => CFunctor (RightAdj m) (Kleisli m) (->) where
    cfmap (Kleisli g) = RightAdj . join . liftM g . unRightAdj
    -- this can be shortened as RightAdj . (=<<) g . unRightAdj