Haskell 为什么归纳数据类型禁止像'data Bad a=C（Bad a->；a）`这样的类型，其中类型递归发生在->；之前；？

Agda国家手册：

为确保正常化，感应事件必须出现在严格的正位置。例如，不允许以下数据类型：

因为构造函数的参数中出现了负面的Bad

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为什么归纳数据类型需要此要求？

特纳，D.a.（2004-07-28）第节给出了此类数据类型如何允许我们居住在任何类型中的示例。规则2：类型递归必须是协变的

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让我们用Haskell做一个更详细的例子。我们将从一个“坏”的递归数据类型开始

数据坏a=C（坏a->a）

这意味着拥有这样一种数据类型允许我们构造任何类型的递归，或者通过无限递归驻留在任何类型中

非类型lambda演算中的Y组合子定义为

Y=λf.（λx.f（x x））（λx.f（x））

关键是我们在

x

中将

x

应用于自身。在类型化语言中，这是不可能的，因为没有

x

可能具有的有效类型。但是我们的

坏的

数据类型允许此模块添加/删除构造函数：

selfApp:：坏a->a
selfApp（x@（cx'））=x'x

以

x:：Bad a

为例，我们可以展开它的构造函数，并将其中的函数应用于

x

本身。一旦我们知道如何做，就很容易构造Y组合符：

yc:：（a->a）->a
让fxx=C（\x->f（selfApp x））--这是Y的λx.f（x x）部分
在selfApp fxx中

请注意，

selfApp

和

yc

都不是递归的，函数本身没有递归调用。递归只出现在递归数据类型中

我们可以检查构造的组合器是否确实执行了它应该执行的操作。我们可以创建一个无限循环：

loop:：a
循环=yc id

或者说：

gcd'：：Int->Int->Int
gcd'=yc gcd0
哪里
gcd0:：（Int->Int->Int）->（Int->Int->Int）
gcd0记录a b | c==0=b
|否则=记录b c
其中c=a`mod`b

您给出的数据类型很特殊，因为它是非类型lambda演算的嵌入

data Bad : Set where
  bad : (Bad → Bad) → Bad

unbad : Bad → (Bad → Bad)
unbad (bad f) = f

让我们看看如何。回想一下，非类型lambda演算有以下术语：

 e := x | \x. e | e e'

我们可以定义从非类型的lambda演算术语到类型为

Bad

的Agda术语的翻译（尽管不在Agda中）：

现在，您可以使用您最喜欢的非终止非类型lambda术语来生成类型为

Bad

的非终止术语。例如，我们可以将

（\x.x）（\x.x）

转换为类型为

Bad

的非终止表达式，如下所示：

unbad (bad (\x -> unbad x x)) (bad (\x -> unbad x x))

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虽然该类型恰好是这个参数的一种特别方便的形式，但只要稍加努力，它就可以推广到任何递归出现为负的数据类型。

回答得不错。我喜欢这种优雅的方法，它有理论解释（嵌入非类型的lambda演算）。有没有可能扩展它，使它对所讨论的语言（比如说Agda）进行任意递归？@PetrPudlák所以，我刚刚和我的同事聊天，他们远远比我更好的类型理论家。大家一致认为，这种

糟糕的
不会产生一个关于所有a.a
类型的术语（这正是您真正关心的；递归只是一种实现方法）。论点是这样的：你可以构建Agda的集合论模型；然后你可以将
Bad
作为一个元素集添加到该模型中；因为在结果模型中仍然存在无人居住的类型，所以没有函数将循环
Bad
术语转换为另一种类型的循环术语。
[[x]]     = x
[[\x. e]] = bad (\x -> [[e]])
[[e e']]  = unbad [[e]] [[e']]

unbad (bad (\x -> unbad x x)) (bad (\x -> unbad x x))