Haskell 查找树中节点的最大值

我有个问题

我必须在Haskell中实现一个函数

maxT

，它从二叉树返回节点的最大值

data Tree a = Leaf a | Node (Tree a) a (Tree a)

这是给定的。接下来我该怎么办

maxT :: (Tree Integer) -> Integer
maxT (Leaf a) = a
maxT (Node l a r) = max a (max (maxT l) (maxT r))

---

这是对的吗？

让我们看看要证明这是正确的有多难。为什么？因为这是分析程序错误的好方法。尤其是递归的。从技术上讲，我们将使用归纳法，但它并不复杂。关键是要认识到

maxtt

必须始终是树中的最大值

t

——这个声明，“

maxtt

必须始终是树中的最大值

t

”被称为不变量，我们将尝试证明它

首先，我们假设

t

是一个

Leaf

。在这种情况下，您已经定义了

maxT（Leaf a）=a

，并且由于此树中没有其他值，

a

必须是最大的。因此，

maxT

在传递

Leaf

时支持我们的不变量。这就是“基本情况”

---

<>现在我们将考虑当我们让<代码> T =节点（叶A）B（叶C）某些<代码>整数< /代码> S代码> A <代码> >代码> B>代码>和<代码> C/<代码>。这是一个高度为1的树，形成了一个你可以称之为归纳的“示例案例”。让我们试试

maxT

，看看不变量是否成立

maxT t 
===
maxT (Node (Leaf a) b (Leaf c))
===
max b (max (maxT (Leaf a)) (maxT (Leaf c)))

此时，我们将使用我们的基本情况步骤，并说，由于此表达式中的

maxT

的唯一应用程序位于

Leaf

s上，因此每个应用程序都必须支持我们的不变量。这有点愚蠢，但那只是一个例子。稍后我们将看到更一般的模式

现在，让我们计算

maxT（Leaf）

位，知道结果是每个特定的左或右子树中的最大值

===
max b (max a c)

现在，我不太想深入讨论

max

的定义，但基于它的名称，我很高兴假设

max a b

返回的值在

a

和

b

之间最大。我们可以在这里选择详细信息，但很明显，

max b（max a c）

已经获得了有关

节点的所有相关信息，用于计算整个height-1树的最大值。我认为这是一个成功的证明，
maxT
对height-0和height-1树都有效（
Leaf
s和
Node
s只包含
Leaf
s）

下一步是概括这个例子


让我们在树的高度上应用同样的模式。我们将询问如果我们固定一些数字，
n
，并假设
maxtt
对高度
n
或更低的所有
t
保持不变，会发生什么。这有点奇怪，我们只展示了这对
n=0
和
n=1
有效。稍后会很清楚为什么会这样

那么这个假设对我们有什么作用呢？好的，让我们取任意两棵高度小于等于n的树（称它们为l和r），任意整数x，并将它们组合成一棵新树。当我们执行
maxtt
时会发生什么

maxT t
===
maxT (Node x l r)
===
max x (max (maxT l) (maxT r))

我们知道，根据我们的假设，
maxtl
和
maxtr
支持我们的不变量。然后，
max
es链继续支持我们现在对树
t
的不变量，即高度-
（n+1）
。此外（这非常重要）我们组装新的
树的过程是通用的，我们可以用这种方法制作任意高度的
（n+1）
树。这意味着
maxT
适用于任何高度-
（n+1）
树


诱导时间！我们现在知道，如果我们选择一个
n
，并且（出于某种原因）相信
maxT
适用于任何高度-
n
树，那么它必须立即适用于任何高度-
（n+1）
树。让我们选择
n=0
。通过“基本情况”我们知道
maxT
适用于
Leaf
s，因此我们突然知道
maxT
适用于高度-
1
树。这就是我们的“案例”。现在，根据这些知识，我们可以立即看到
maxT
适用于高度-
2
树。然后是高度-
3棵树。然后是高度-
4
。等等等等

这就完成了
maxT
正确性的证明*

*我必须留下一些警告。我们并没有真正做精细的细节来说明
max
链是可行的，尽管这是有道理的。我也没有真正证明归纳步骤是有效的，如果有更多的方法来创建一个高度-
（n+1）
树，而不仅仅是在高度-
n
或更小的树上使用
节点，会怎么样？更有效的方法是“拆开”一棵高的树，但我认为这更难看到。最后，我们想认真考虑一下，如果我们发送
maxT（Leaf undefined）
或其他类似的病理值，会发生什么。这些出现在Haskell中，因为它是一种（图灵完整的）计算机语言，而不是纯数学。老实说，对于您的情况来说，这些小细节不会有太大的改变。
这不是最完美的实现，但在我看来，它应该可以工作。你能详细说明一下你认为它有什么问题吗？你可能想把它的类型概括为
maxT:：Ord a=>Tree a->a
，但除此之外，它看起来还不错。你试过测试它吗？试试这个：
maxT（节点（叶1）5（叶（-4）））2（节点（叶6）2（叶4））
。你没有问题！