Haskell 不变函子的例子？

我在看书，我的脑子快沸腾了

在本文档的

mmtl

部分中，作者讨论了不变函子。它的方法

invmap

类似于

Functor

的

fmap

，但它也需要逆态射

（b->a）

。我理解作者为什么说

MFunctor

的

high

比

Invariant

的

tmap

更强大，但我不明白这种逆态射有什么意义

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有没有一个

不变量

的例子不能作为

函子

的实例？

这里有一个标准的

不变量

出现的地方---嵌入lambda演算的高阶抽象语法（HOAS）。在HOA中，我们喜欢编写表达式类型，如

data ExpF a 
  = App a a
  | Lam (a -> a)

-- ((\x . x) (\x . x)) is sort of like
ex :: ExpF (ExpF a)
ex = App (Lam id) (Lam id)

-- we can use tricky types to make this repeat layering of `ExpF`s easier to work with

我们希望这种类型的结构类似于

函子

，但遗憾的是，它不能这样，因为

Lam

在正反两个位置都有

a

s。因此，我们定义

instance Invariant ExpF where
  invmap ab ba (App x y) = App (ab x) (ab y)
  invmap ab ba (Lam aa)  = Lam (ab . aa . ba)

这真的很悲惨，因为我们真正想做的是将这个

ExpF

类型本身折叠起来，形成一个递归表达式树。如果它是一个

函子

，那是显而易见的，但既然它不是，我们就会得到一些非常难看的、具有挑战性的构造

要解决此问题，请添加另一个类型参数并将其称为参数化HOA

data ExpF b a
  = App a a
  | Lam (b -> a)
  deriving Functor

---

我们最终发现，我们可以使用它的

Functor

实例在这个类型上构建一个免费的monad，其中绑定是变量替换。非常好

Endo a

来自

数据。幺半群

？是的，

Endo

应该是不变的。我认为研究

逆变

会很有用。既然

ExpF b a

只是一个

修复

远离PHOASI，你不也想要

Var b

吗。在这一点上，

ExpF

基本上只是一个

Free

，离目标还有一段距离。