如何证明Isabelle中极大值的交换性

我是伊莎贝尔的新手，所以请发发慈悲吧。如何用这个函数证明极大值的交换性质

fun max :: "nat => nat => nat" where
"max 0 0 = 0" |
"max (Suc x) 0 = Suc x" |
"max 0 (Suc x) = Suc x" |
"max (Suc x) (Suc y) = Suc (max x y)"

lemma "max x y = max y x"
? ? ?

我知道这是很容易证明的

definition max :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"max x y = (if x ≥ y then x else y)"

lemma "max x y = max y x"
apply(simp add:max_def)
done

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这不是家庭作业。我真的很好奇，希望尽可能多地了解伊莎贝尔和数学证明。谢谢您的时间。

证明递归定义函数的某些事实的典型方法是归纳法，归纳法的结构遵循递归定义的结构

在Isabelle中，您可以使用

induct

方法进行归纳。如果你为一个自然数

n

写

induct n

，你会得到两种情况：一种情况是

n=0

，另一种情况是

n

是某事物的继承者

但是，在这种情况下，您应该使用函数包为

max

提供的归纳规则，该规则称为

max.induct

。所以，只需在你的目标上应用

（归纳x y规则：max.induct）

，然后看看你还剩下什么。这对于您想要证明的内容来说已经足够了

但是，您已经提到了替代定义

if x≥ y然后x，否则y

。一些证明（如

max

的关联性）可能更容易使用该定义。在这种情况下，您可以简单地证明此替代定义为

lemma max_altdef: "max x y = (if x ≥ y then x else y)"

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然后在任何情况下使用对您更方便的定义。

max_altdef

的证明也是一个简单的归纳。

不要忘记检查《具体语义》（Nipkow和Klein）一书。这本书在网上免费提供，它的前5章是对伊莎贝尔的实用介绍：我以前偶然发现了这本书，现在正在慢慢地读完。谢谢你的评论，不客气。不久前，我努力完成了第一部分。这很有挑战性，但确实值得付出努力。太棒了。非常感谢。这解决了我的问题，我肯定会考虑替代的定义，以减轻未来的打样负担。