Isabelle 身份关系的传递闭包

我无法在中证明以下

引理

：

---

关于如何证明这一点，你有什么想法吗？

如果你只是调用sledgehammer（通过面板，或通过

尝试），那么你会立即得到证据：

by (metis rtrancl_empty rtrancl_idemp)

要想知道这是怎么回事，你应该首先考虑如何在纸上证明这一点。如你所见

term "Id"

Id
是一组对（type
（'a*'a）set
）。因此，你必须证明两个集合相等。这样做的标准方法是显示每个集合是另一个集合的子集

让我们从
Id^*开始⊆ Id
。如何显示一个集合是另一个集合的子集？确切地说，表明“较小”集合的每个元素也是“较大”集合的元素，即

fix x y
assume "(x, y) ∈ Id^*"
then show "(x, y) ∈ Id"

由于传递闭包是归纳式定义的，我们可以通过归纳如下

by (induct) simp_all

也就是说，使用默认的归纳规则作为
（u，u）形式的前提∈ _^*
（正好是
rtrancl\u import
），然后通过简化来解决基本情况和归纳情况

再一次，充分的证据

lemma
  "Id^* ⊆ Id"
proof (rule subrelI)
  fix x y
  assume "(x, y) ∈ Id^*"
  then show "(x, y) ∈ Id"
    by (induct rule: rtrancl_induct) simp_all
qed

另一个方向是作为练习离开。
我对此还是新手。我猜整个Isar证明是这样的：

lemma "Id^* = Id"
proof (rule equalityI)
  show "Id^* ⊆ Id"
  proof (rule subrelI)
    fix x y
    assume "(x, y) ∈ Id^*"
    then show "(x, y) ∈ Id"
    by (induct) simp_all
  qed
next 
  show "Id ⊆ Id^*"
  proof (rule subrelI)
    fix x y
    assume "(x, y) ∈ Id"
    then show "(x, y) ∈ Id^*"
    by (auto) 
  qed
qed

没什么好猜测的，当伊莎贝尔接受证据时，一切都很好；）
lemma "Id^* = Id"
proof (rule equalityI)
  show "Id^* ⊆ Id"
  proof (rule subrelI)
    fix x y
    assume "(x, y) ∈ Id^*"
    then show "(x, y) ∈ Id"
    by (induct) simp_all
  qed
next 
  show "Id ⊆ Id^*"
  proof (rule subrelI)
    fix x y
    assume "(x, y) ∈ Id"
    then show "(x, y) ∈ Id^*"
    by (auto) 
  qed
qed