我为什么要用“我的”呢；数字“自然”；或；数字符号“simps”；当在Isabelle中证明一个简单的可计算的自然等式时

采用阶乘函数的标准定义：

primrec factorial :: "nat ⇒ nat"
  where
    "factorial 0 = 1"
  | "factorial (Suc n) = (Suc n) * (factorial n)"

如果我们要求

值“factorial 3”

，伊莎贝尔可以预料地给我们

6

。然而，如果我们试图将其作为引理，它将失败：

lemma "factorial (3::nat) = (6::nat)"
  by simp
(* Failed to apply initial proof method *)

simp

，

auto

，甚至

arith

都找不到解决方案。但是，如果我们添加

numeric\u nat

或

numeric.simps

，

simp

可以解决这个问题：

lemma "factorial (3::nat) = (6::nat)"
  by (simp add: numeral_nat)

lemma "factorial (3::nat) = (6::nat)"
  by (simp add: numeral.simps)

有趣的是，在这两个证明中，Isabelle都给出了警告“

忽略重复重写规则”

，这意味着它应该已经知道这些。此外，Isabelle证明

“3*2*1=6”

，这让我更加困惑于这些引理是如何被使用的

---

因此，如果这是一个如此简单且易于计算的等式-如此之多以至于Isabelle可以用

value

命令计算它-而且这些规则显然已经存在，为什么Isabelle不能在没有它们的情况下解出引理呢？

numeric\u nat

包含7个引理：

thm numeral_nat
(*
  Numeral1 = Suc 0
  numeral (num.Bit0 ?n) = Suc (numeral (Num.BitM ?n))
  numeral (num.Bit1 ?n) = Suc (numeral (num.Bit0 ?n))
  Num.BitM num.One = num.One
  Num.BitM (num.Bit0 ?n) = num.Bit1 (Num.BitM ?n)
  Num.BitM (num.Bit1 ?n) = num.Bit1 (num.Bit0 ?n)
  1 = Suc 0
*)

而

simp

投诉了其中的4个：

Ignoring duplicate rewrite rule:
Num.BitM num.One ≡ num.One 
Ignoring duplicate rewrite rule:
Num.BitM (num.Bit0 ?n1) ≡ num.Bit1 (Num.BitM ?n1) 
Ignoring duplicate rewrite rule:
Num.BitM (num.Bit1 ?n1) ≡ num.Bit1 (num.Bit0 ?n1) 
Ignoring duplicate rewrite rule:
1 ≡ Suc 0

因此，有了

7-4=3

新的定理。跟踪（参见

simp\u trace

）表明

numeric\u nat（2,3）

是有用的引理

惯用的方法是（

numeric\u eq\u Suc

通常是一个糟糕的simp规则）：

您可能想知道为什么从

3

扩展到

Suc（Suc（Suc 0））

实际上是必要的，因为定义是

factorial（Suc n）=……

。伊莎贝尔的答案是：只适用于

1

。这对于大多数递归函数来说已经足够了，并且避免了目标的膨胀。试一试

lemma "factorial (6::nat) = A" 
  apply (simp add: numeral_nat(2,3))

看到一个被放大的进球

现在，

value

的工作原理非常不同。它有三种模式：

value

或

value[code]

（

eval

策略）生成标准ML代码并执行。您信任代码方程式和编译器

value[nbe]

（

normalization

策略）是通过评估实现的规范化（也使用代码生成）。“需要信任的代码堆栈相当多”（）

value[simp]

（

code\u simp

策略）使用简化器。完全可信

---

即使在最后一种情况下，也会使用特定的参数和定理调用简化器，而不是像您那样使用默认的参数和定理。这就是区别。

回答得很好！但是仍然有一个问题：为什么首先需要这些引理呢？。如果

factorial3

最终减少到

3*2*1

（对吗？），为什么

simp

可以证明

3*2*1=6

没有它们，而不是

factorial3=6

？定义是

factorial（Suc n）=……

。所以问题就变成了：你想什么时候把一个数字转换成Suc（Suc…（0）…）？伊莎贝尔的答案是：只为1。这对于大多数递归函数来说已经足够了，并且避免了目标的膨胀。尝试

lemma“factorial（6:：nat）=A”apply（simp add:numeric_nat（2,3））

来查看一个放大的目标。这很有意义。。。而且值得回答！把它加进去，我会欣然接受（我会自己添加一个建议的编辑，但不幸的是编辑队列已满）

lemma "factorial (6::nat) = A" 
  apply (simp add: numeral_nat(2,3))