Isabelle 集合成员的否定、相等

我注意到Isabelle自动简化了∈ （-A））和

，（x=y）

到

A∉ A

和

x≠ 分别为y

这是一个简单的纸笔自然演绎证明，但在伊莎贝尔失败。在第二行中，

，（a）∈ （-A））

简化为

A∉ - A

。从后者来看，我们无法应用ComplD，但为什么

lemma "- (- A) ⊆ (A::'a set)"   
proof 
   fix a assume "a ∈ - (- A)"
   hence "¬ (a ∈ (- A))" by (rule ComplD)
   hence "¬ (¬ (a ∈ A))" by (rule ComplD) (* fail! *)
   thus "a ∈ A" by (rule notnotD)
qed

有没有办法回到非简化表达式

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当然，这个引理可以用simp一行证明。但我的目的是明确使用自然演绎规则（用于教学）。

这些不是简化。如果你看一下

a的定义≠ b

和

x∉ A

在Isabelle中（例如，通过按住ctrl键单击符号），您会发现它们只是

，（A=b）

和

，（x）的缩写∈ A） 

。这些语句的内部表示方式与您在上面所写的完全相同，只是为了提高可读性，它们的打印方式有所不同

无法应用规则

ComplD

的原因是它根本不匹配

ComplD

说

？c∈ - ?A.⟹ ?C∉ ?A

。然而，在失败的步骤中，您的假设是

a∉ -A

，并且不能统一到前提

？c∈ -?
ComplD的
，因此
规则
失败

我相对确信，你需要经典的推理来证明这一点，因为你的陈述在直觉上并不成立。这意味着您必须进行矛盾证明，例如：

lemma "- (- A) ⊆ (A::'a set)"   
proof
  fix a assume a: "a ∈ - (- A)"
  show "a ∈ A"
  proof (rule ccontr)
    assume "a ∉ A"
    have "a ∈ -A"
    proof (rule ComplI)
      assume "a ∈ A"
      with ‹a ∉ A› show False by contradiction
    qed
    moreover from a have "a ∉ -A" by (rule ComplD)
    ultimately show False by contradiction
  qed
qed

这里的
规则ccontr
以矛盾开始证明；当一个人已经证明了一个事实及其否定时，证明方法
矛盾
仅仅是一种很好的推导任何东西的方法。
是的，当然ComplI规则不起作用！真不敢相信我竟然没有意识到！谢谢！