Isabelle 一种快速到达伊莎贝尔八阶阿贝尔群的方法

我正在伊莎贝尔身上正式化。第4.1节描述了以下设置：

context 
  fixes c d :: real
  assumes "c ≠ 0" "∃ b. c = b^2" "∃ b'. d = b'^2"
begin
  definition t where "t = sqrt(d/c)"
  definition e' where "e' x y = x^2 + y^2 - 1 - t^2 * x^2 * y^2"

  definition ρ where "ρ x y = (-y,x)"
  definition τ where "τ x y = (1/(t*x),1/(t*y))"

然后定义G为由ρ和τ生成的八阶阿贝尔群

是否有一种简单的方法：

说明ρ和τ生成一个群

由于ρ和τ的阶数为2，其余的都是可换的，可能有一个内置的定理，它必须对应于一个8阶的阿贝尔群

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我确实试图解决这个问题，并想出了一个稍微有力的解决方法：

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上下文
修复c d:：real
假设“c”≠ 0" "∃b、 c=b^2“∃b'.d=b'^2“
开始
定义t，其中“t=sqrt（d/c）”
定义e'，其中“e'x y=x^2+y^2-1-t^2*x^2*y^2”
上下文
假设nz_t：“t≠ 0"
开始
定义ρ：：“实×实⇒ “真的×真的”在哪里
ρz=（-snd z，fst z）
定义τ：：“实×实”⇒ “真的×真的”在哪里
“τz=（1/（t*fst z），1/（t*snd z））”
定义在哪里
“S≡ 
{
身份证件
（λz.（-snd z，fst z）），
（λz.（-fst z，-snd z）），
（λz.（snd z，-fst z）），
（λz.（1/（t*fstz），1/（t*sndz）），
（λz.（-1/（t*sndz），1/（t*fstz）），
（λz.（-1/（t*fst z），-1/（t*snd z）），
（λz.（1/（t*sndz），-1/（t*fstz）））
}"
定义ρS，其中
“ρS≡ 
{id，（λz.（-sndz，fstz）），（λz.（-fstz，-sndz）），（λz.（sndz，-fstz））}”
定义τS，其中
“τS≡ {id，（λz.（1/（t*fstz），1/（t*sndz））}”
定义BIJ，其中“BIJ=⦇carrier={f.bij f}，mult=comp，one=id⦈"
解释bij：组bij
展开BIJ_def
应用本地语言环境
子目标人（simp添加：bij_公司）
子目标制定者（simp add:comp_assoc）
simp子目标
simp子目标
simp子目标
子目标
展开单位
克拉西姆
（如果是bij，则将metis inj注入bij，如果是def bij，则将bij注入inv，如果是inv，则取消SUR）
完成
（*证明可能需要几秒钟*）
引理comp_S:“x∈ s⟹ Y∈ s⟹ x∘ Y∈ S“
展开comp_apply S_def Set.insert_iff by（elim disjE）fastforce+
引理命令：“x∈ s⟹ Y∈ s⟹ x∘ y=y∘ x“
展开comp_apply S_def Set.insert_iff by（elim disjE）fastforce+
引理bij_uρ：“bijρ”
展开bij_def inj_def surj_defρdef
由clarsimp（metis加法逆运算）
引理bij_uτ：“bijτ”
展开bij_def inj_def surj_defτdef
证明（简单添加：nz\U t、allI简介、exI简介）
通过simp使用nz_t修复一个节目“a=1/（t*（1/（a*t））”
量化宽松
引理generate_uρτ：“generate BIJ{ρ，τ}=S”
证明（标准；简介）
有inv_uτ：“inv⇘比吉⇙ τ = τ"
展开m_inv_def
证明（标准）
显示“τ”∈ 载体BIJ∧ τ ⊗⇘比吉⇙ τ=@Javier一句小评论：你的问题陈述中可能有错误/印刷错误。ρ生成的群的阶数为4，而不是2。此外，如果您有任何进一步的问题或希望我提供更多的细节，请不要犹豫。