Java 最小成本算法&x2B；一般图的最大匹配

我有一个由节点和边组成的数据集。 节点代表人，边代表人与人之间的关系，每个节点都有一个使用欧几里德距离计算的代价

现在，我希望通过它们各自的边将这些节点匹配在一起，其中只有一个约束：

• 任何节点只能与单个其他节点匹配

现在我们知道我在一个普通的图中工作，理论上每个节点都可以与数据集中的任何节点匹配，只要它们之间有一条边

我想做的是找到最大匹配和总成本最低的解决方案

Node A
Node B
Node C
Node D

- Edge 1:
Start:       End      Cost
Node A       Node B   0.5

- Edge 2:
Start:       End      Cost
Node B       Node C   1

- Edge 3:
Start:       End      Cost
Node C       Node D   0.5

- Edge 2:
Start:       End      Cost
Node D       Node A   1

该问题的解决方案如下：

• 指定边1和边3，因为这是最大匹配量（在本例中，显然只有2个解决方案，但可能有大量分支边指向其他节点）

• 边1和边3是指定的，因为它是具有最大匹配量和最小总体成本（1）的解决方案

我研究了很多算法，包括匈牙利算法、Blossom算法、最小成本流算法，但我不确定哪种算法最适合这种情况。另外，在二部图中，似乎有很多材料可以用来解决这类问题，但在这个问题上，情况并非如此

所以我问你：

在这种情况下，哪种算法最适合返回（a）最大匹配量和（b）最低总体成本

你知道你推荐的算法有什么好材料（可能是一些容易理解的伪代码）吗？我不是数学符号学最强的

对于（a），最合适的算法（理论上有更快的算法，但更难理解）是Edmonds的Blossom算法。不幸的是，这很复杂，但我会尽我所能解释其基础

基本思想是进行匹配，并通过进行一些局部更改来不断改进（增加匹配节点的数量）。关键概念是一个交替路径：从一个不匹配节点到另一个不匹配节点的路径，其特性是边在匹配内和匹配外交替

如果有交替路径，则可以通过翻转交替路径中边的状态（无论它们是否处于匹配状态）将匹配的大小增加1

如果存在交替路径，则匹配不是最大的（因为该路径为您提供了增加匹配大小的方法），相反，您可以显示，如果没有交替路径，则匹配是最大的。所以，要找到一个最大匹配，你需要做的就是找到一条交替的路径

在二部图中，这是非常容易做到的（可以通过DFS做到）。一般来说，这更为复杂，这是Edmonds的Blossom算法。粗略地说：

• 构建一个新的图，其中两个顶点之间有一条边，如果您可以通过首先遍历匹配中的边，然后遍历不匹配的边，从u到v

• 在此图中，尝试查找从未匹配顶点到具有未匹配邻居（即原始图中的邻居）的匹配顶点的路径

找到的路径中的每条边对应于原始图形的两条边（即匹配中的一条边和不匹配中的一条边），因此该路径在新图形中转换为交替行走，但这不一定是交替路径（路径和漫游之间的区别在于，路径仅使用每个顶点一次，但漫游可以多次使用每个顶点）

• 如果行走是一条路径，则您有一条交替的路径，并且已完成

• 如果没有，则行走不止一次地使用某个顶点。您可以删除两次访问该顶点之间的行走部分，然后获得一个新图形（删除部分顶点）。在这个新图形中，您必须再次执行整个搜索，如果您在新图形中找到一条交替路径，则可以“提升”将其转换为原始图形的交替路径

对于stackoverflow的答案来说，深入了解这（关键）最后一步的细节有点太多了，但是您可以找到更多细节，也许有了这个高级概述可以帮助您理解更多数学文章

从零开始实现这一点将是相当具有挑战性的

加权版本（欧氏距离），EDMONDS算法可以处理更复杂的权重，提供了C++实现和伴随的文件，这也可以用于未加权的情况，所以使用这个实现可能是个好主意。（即使它不在java中，也应该有某种方式与之交互）

---

因为你的权重是基于欧几里德距离的，所以这种情况下可能会有一个专门的算法，但是我上面提到的更通用的版本也可以工作，并且可以实现它。

你所说的最大匹配是什么意思？答案很好。你知道加权版本是建立在现有最大匹配之上的吗ing，还是必须直接在现有算法中实现？您是否愿意在最适合您的平台上通过IM讨论这一问题？