Java 理解求二项式系数的递归方法

在尝试使用递归方法求解求二项式系数的赋值时，我得出了以下结论：

public class Binomial
{
   public static long binom(int n, int k)
   {
       if (k==n || k==0)
         return 1;
       else return binom(n-1,k-1) + binom(n-1, k);
  }

---

对于

n=5；k=3

该方法返回的值为10。用k和n的一系列不同的值进行了尝试，它们都给出了预期的结果，因此代码可以工作，我只是不知道为什么以及如何工作。如果能给我一个简单的解释，我将不胜感激。谢谢

为了证明这种递归方法有效，您必须证明两件事：

• 该方法在基本情况下返回正确的值（即

  k

  为

  n

  或为零时），以及
• 假设该方法为

  m=n-1

  返回正确的值，则意味着该方法也适用于

  n

第一条语句非常正确（如果语句正确，则为

）

第二个陈述要求用铅笔和纸做一个简单的练习，在这个练习中，你使用二项式系数的定义来证明其含义

这种构造数学证明的方法称为。它对于编程中递归方法的推理特别有用。一旦你对数学归纳法的理解，尤其是对其工作原理的理解变得坚实，你就可以毫无问题地构造自己的递归方法，并且有更好的机会理解他人编写的递归方法。
为了证明这种递归方法是有效的，你必须证明两件事：


该方法在基本情况下返回正确的值（即
k
为
n
或为零时），以及
假设该方法为
m=n-1
返回正确的值，则意味着该方法也适用于
n

第一条语句非常正确（如果

语句正确，则为

）

第二个陈述要求用铅笔和纸做一个简单的练习，在这个练习中，你使用二项式系数的定义来证明其含义

这种构造数学证明的方法称为。它对于编程中递归方法的推理特别有用。一旦你对数学归纳法的理解，尤其是对其工作原理的理解变得坚实，你就可以毫无问题地构造自己的递归方法，并且有更好的机会理解他人编写的递归方法。
这是帕斯卡三角形，二项式系数及其计算的可视化：

     1
    1 1
   1 2 1
  1 3 3 1

每个元素是它上面两个元素的总和

现在，如果你看看你的递归公式，
binom（n，k）=binom（n-1，k-1）+binom（n-1，k）
，将
n
作为行号，
k
作为元素在行中的位置，你会发现上面的规则是以代数形式写下来的。您需要的唯一进一步的东西是边界情况，包含在if-else语句的“then”子句中。
这是Pascal三角形，是二项式系数及其计算的可视化：

     1
    1 1
   1 2 1
  1 3 3 1

每个元素是它上面两个元素的总和

现在，如果你看看你的递归公式，
binom（n，k）=binom（n-1，k-1）+binom（n-1，k）
，将
n
作为行号，
k
作为元素在行中的位置，你会发现上面的规则是以代数形式写下来的。你需要的唯一进一步的东西是边界情况，包含在if-else语句的“then”子句中。
正如在评论和其他答案中所说，在维基百科中，你可以看到递归公式可以用Pascal三角形理解

你可以把binom（n，k）看作是“从一组n中选择k个元素”的全部可能性。
假设您有一组n-1元素，并且您知道关于选择任意数量的元素（0,1,2,3,4，…，n-1）的所有不同组合。一位朋友来给您一个新元素。现在您有n个元素，并且希望知道k个元素与新集的组合数。现在有两种可能性：
-k是0或n（没有元素或所有元素）：只有一种可能性。
-k是另一个数字：您可以使用开始时拥有的n-1元素集中的新元素和k-1元素（记住您已经创建了该数字，从n-1元素中取出k-1），或者您可以仅使用开始时拥有的集合中的元素（从n-1元素中取出k）

因此，当n！=k和k！=0时，你可以说p（n，k）=p（n-1，k-1）+p（n-1，k），你可以理解你的代码。
正如在评论和其他答案中所说，在维基百科中，你可以看到递归公式可以用帕斯卡三角形来理解

你可以把binom（n，k）看作是“从一组n中选择k个元素”的全部可能性。
假设您有一组n-1元素，并且您知道关于选择任意数量的元素（0,1,2,3,4，…，n-1）的所有不同组合。一个朋友来给你一个新的元素。现在您有n个元素，希望知道k个元素与新集合的组合数。现在有两种可能性：
-k是0或n（没有元素或所有元素）：只有一种可能性。
-k是另一个数字：您可以使用开始时拥有的n-1元素集中的新元素和k-1元素（记住您已经创建了该数字，从n-1元素中取出k-1），或者您可以仅使用开始时拥有的集合中的元素（从n-1元素中取出k）

因此，当n！=k和k！=0，您就可以理解您的代码。
在这种情况下，您最适合拿起笔和纸，为一个简单的案例写下逻辑步骤。比如binom（3，2）。它之所以有效，是因为有一些数学上的原因，请参见使用