Logic 避免NP完全性的限制布尔公式

我有布尔公式A和B，想检查“A->B”（A意味着B）在多项式时间内是否为真

对于完全通用的公式A和B，这是NP完全的，因为“A->B”为真“与“不（A->B）”相同，不可满足

我的目标是找到有用的限制，这样多项式时间验证是可能的。我还想找到O（n）或O（n logn）限制（n是某种长度| A |或| B |）。我宁愿限制B而不是A

一般来说，我知道以下几类“更简单”的布尔公式：

• （可重命名）Horn公式可以在线性时间内求解（它们是CNF形式，最多有一个正变量）
• DNF形式的所有公式都很容易检查
• 2-SAT是CNF公式，每个子句最多有2个变量，可在线性时间内求解
• XOR-SAT是用XOR代替OR的CNF公式。它们可以通过O（n^3）中的高斯消去法求解

主要的问题是，我有公式“A->B”aka（不是A）或B”，对于非平凡的A/B，它很快变成非CNF和非DNF

如果我正确理解了Tseytin变换，那么我可以将任意公式X变换为CNFy，其中O（| X |）=O（| Y |），因此，如果我愿意，我可以假设我的公式在CNF中

有一些低垂的果实：

• 如果| B |是常数且很小，我可以列举出B的所有解，并检查它们是否产生了真a
• 类似地，如果| A |是常数且很小，我可以列举A的所有解，并检查它们是否产生假B

更有趣的是：

• 如果B在DNF中，那么我可以将A转换为CNF，这将使“（不是A）或B”DNF在线性时间内是可解的
• 对于一般的B，如果| B |在O（log | A |）中，我可以将B转换为DNF并用这种方法求解

然而，我不确定如何使用其他更简单的类，或者是否可能

由于分布性，如果我没有弄错的话，CNF中的A或B在试图将“（不是A）或B”带回CNF时几乎肯定会以指数级爆炸

注意：我的用例可能有比B更复杂/更长的A公式

所以我的问题可以归结为：是否存在有用的布尔公式类A和B，使得“A->B”可以在多项式（最好是线性）时间内得到证明除了我刚才提到的4个案例之外

编辑：对这一点的不同理解：在下列类别之一的A和B的什么条件下是“A->B”：

• 在DNF中
• 在CNF和Horn公式中（Horn SAT）
• 在CNF和二元公式（2-SAT）中
• 在CNF和算术公式中（XOR的CNF）

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这绝对是一个有趣的结果。然而，我不知道如何使用它来解决我的问题。这些属性适用于公式“A->B”，而不是直接适用于A和B。我不确定A和B的含义是什么。我认为至少XOR CNF”（不是A）或B“polinomial不是吗？