Math 在a^x=a（模n）中查找x

我想计算am mod n，其中n是一个素数，m非常大。与其用二进制幂计算，我想找到这样的x，即ax=a（mod n），然后计算a（m mod x）mod n

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显然，对于任何a，都存在这样的x，因为在某个点上幂模n循环，但我没有找到如何用模运算来计算它。我想知道我是否遗漏了什么，或者是否存在一些数值方法？

计算am mod n的标准方法是使用您提到的典型的二进制指数法，同时保持问题的可处理性。注意“在密码学中的使用”一节，它解释了计算am mod n的实用程序

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解决标题中的问题需要找到离散对数，而对于离散对数，没有已知的有效解决方案。解决离散对数问题的困难是许多密码系统的基础

你的模是素数，这使得开始很容易，就像费马（不恰当地称为“小”）定理那样，然后

a^n ≡ a (mod n)

对于所有

a

。这个公式是等价的

a^(n-1) ≡ 1 (mod n),  if n doesn't divide a.

那你有

a^m ≡ 0 (mod n) if a ≡ 0 (mod n) and m > 0

及

（请注意，您建议的

a^（m%x）

通常是不正确的，如果

m=q*x+r

，您将

a^m ≡ (a^x)^q * a^r ≡ a^q * a^r ≡ a^(q+r) (mod n)

您需要对

q+r

重复该缩减，直到获得小于

x

的指数

如果你真的对最小的

x>1感兴趣，那么
a^x≡ a（mod n）
，同样是
a的情况≡ 0（mod n）
是微不足道的[
x=2
]，对于其他情况，让
y=min{k>0:a^k≡ 1（mod n）}
，然后期望的
x=y+1
，并且，由于环
Z/（n）
中的单元形成顺序
n-1
的（循环）群，我们知道
y
是
n-1
的除数

如果你有
n-1
的因式分解，那么就很容易找到和检查
y
的除数和候选除数，因此找到
y
并不需要太多工作，但是对于单个
0
^
来说，它通常比计算
a^r（mod n）
的工作量要大得多？made
@GrijeshChauhan:谢谢）我认为关于离散对数的评论是误导性的：在这个特殊情况下（发现x>1，使得a^x=a（mod n）），这实际上不是关于发现离散对数；对于有趣的情况（其中a相对素数为n），困难的部分是找到模n的单元组的阶，并且（如果你想找到所有解x）也要找到该阶的素数分解。即使已知p-1的因式分解，也很难找到模为素数p的离散对数。
a^m ≡ (a^x)^q * a^r ≡ a^q * a^r ≡ a^(q+r) (mod n)