Math 为什么n^O（1）表示多项式时间？

一个算法在多项式时间内运行，如果它的运行时间是O（nk）对于某些k。然而，我也见过多项式时间被定义为时间1

我对此有一些疑问：

为什么没有（1）多项式时间？k怎么了

如果nO（1）是多项式时间，那么3n2应该是nO（1）。但是那三个去了哪里？这是怎么回事

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谢谢

当您有一个类似“运行时为O（n）”或“运行时为O（n2）”的表达式时，O（n）和O（n2）项不是实际的函数。相反，它们是具有某些属性的其他函数的占位符。例如，以以下语句为例：

该算法的运行时间为O（n）

这句话真的很有意思

有一个函数f（n），其中算法的运行时间是f（n），f（n）=O（n）

例如，如果函数的实际运行时间为137n+42，则“算法的运行时间为O（n）”语句为真，因为存在某个函数（即f（n）=137n+42），其中算法的运行时间为f（n）且f（n）=O（n）

鉴于此，让我们考虑一下“算法的运行时是否（1）”这句话的意思。这句话相当于

有一个函数f（n），其中算法的运行时间是nf（n），f（n）=O（1）

现在我们已经把术语弄清楚了，这到底意味着什么？直观地说，一个函数是O（1），如果它最终由某个常数从上面限定。因此，O（1）的任何函数f（n）必须满足f（n）≤ 一旦n变得足够大，k。因此，至少在直觉上，nO（1）表示“n提升到某个至多k的幂次方”，这听起来像多项式函数的定义

当然，还有一个令人讨厌的问题，就是常数因素。函数137n3肯定是O（n3），但它前面有一个巨大的常数项。另一方面，如果我们有一个形式为nO（1）的函数，在n3前面就没有常数项。我们如何处理这件事

这是我们可以在数学上变得可爱的地方。对于137n3，请注意，当n>1时，我们有

137n3=nlogn137 n3=n3+logn 137

请注意，这是n提升到logn 137的幂。虽然它看起来像函数logn 137随着n的增大而增大，但实际上它具有相反的行为：它随着n的增大而减小。这是因为我们可以使用基本公式的更改将logn 137重写为

对数n 137=对数137/对数n

从长远来看，当对数n减小时，它明显减小。因此，表达式3+logn137最终由某个常数从上方限定，因此它是O（1）

使用这种技术，可以通过选择n的指数为k加上大O表示法中出现的nk项前面常数因子的对数基数n，将O（nk）转换为nO（1）。类似地，我们可以通过选择k为任何常数，使函数的上界为n的指数中O（1）项所隐藏的函数，从而将nO（1）转换回O（nk）

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希望这有帮助

137n=n^（对数为137）n^3。也许，137n^3=…，而不是137n？哦，天哪，那是个打字错误。谢谢你抓住了+1感谢花时间把所有的

和

都写进去（尽管答案也很好！）：+1。但是你在“当然，还有常数因子这个讨厌的问题。函数137n^3肯定是O（n）”@Teepeemm中有另一个输入错误-谢谢你发现了这一点。固定的！你有没有在指数中用O表示的例子？我知道你要用它，很直观，

n^O（1）

将是一个多项式，但我不确定我是否喜欢这个符号

f（x）=O（g（x））

对于

f（x）已经是草率的了∈ O（g（x））

，将该术语用作指数会使其远离其原始含义，并使人们更难理解

O（g（x））

是一个集合而不是单个函数的表示法。但是，如果您知道自己在做什么，这可能会非常有用。：）@卡斯滕——我在复杂性理论方面的书籍中看到过这一点（例如，Arora和Barak的计算复杂性）。此外，符号f（n）=O（g（n））令人困惑，但从技术上讲，这并不是滥用符号；许多作者以这种方式正式定义了big-O符号。