Math 平方根为2的X位小数需要多少位二进制数

我一直在玩弄计算2的平方根之类的东西。很容易想出一个算法来产生n个正确的二进制数字。我想要帮助的是确定我需要多少二进制数字才能得到m个正确的十进制数字？m个二进制数字将得到m个十进制数字，但m个十进制数字可能还不完全正确

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编辑： 我已经确定二进制

precision=ceil（log2（10^m））

的下限

考虑到这一点，可能没有严格的上限，因为任何较低的2次方进位（转换为基数10时）都可能影响任何较高的基数10

因此，这可能是一个动态问题，需要评估m个二进制数字处的分数扩展，并确定哪些额外的二进制数字可能会导致基数为10的进位

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编辑2:我可能想得太多了。在初始计算之后，我可以继续加（1x10^（-precision）），并对结果进行平方运算，直到我超过2，然后减去（1x10^（-precision）），我就会得到我的答案。尽管如此，我仍然对寻找/开发这样一种算法感兴趣。：）

您使用的是什么方法

我假设在

y=x^2

整数部分受结果

sqrt（y）

限制，不能剪切，否则结果会出错。但是，

x

受到

y

的一半位的限制，因此：

ni2 = log2(|y|)

分数部分很棘手，请参见：

但在第一个数字的非线性开始后，依赖性在此稳定，与链接答案相反：

nf2 = (((nf10-7.810)/9.6366363636363636363636)+1.0)<<5;

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你在用什么方法

我假设在

y=x^2

整数部分受结果

sqrt（y）

限制，不能剪切，否则结果会出错。但是，

x

受到

y

的一半位的限制，因此：

ni2 = log2(|y|)

分数部分很棘手，请参见：

但在第一个数字的非线性开始后，依赖性在此稳定，与链接答案相反：

nf2 = (((nf10-7.810)/9.6366363636363636363636)+1.0)<<5;

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设x为实数，y为其近似值

设RE为y相对于x的相对误差：

RE（x，y）=abs（x-y）/abs（x）

设b为非负整数。基准b中的日志相对误差定义为：

LREb（x，y）=-logb（RE（x，y））

其中logb是以b为底的对数：

logb（z）=log（z）/log（b）

对于任何非负z

基数b中的LRE表示x和y之间的公共位数。这里，“正确位数”不是一个整数，而是一个实数：这将简化下一步的计算，避免需要ceil和floor函数，前提是我们接受诸如“y相对于x有2.3个正确位数”之类的语句。更准确地说，如果x和y具有q公共基b数字，则：

LREb（x，y）>=q-1

根据这些方程，如果相对误差有上界，则LREb有下界。更准确地说，如果：

RE（x，y）=-logb（ε）

此外，如果基数10中的正确位数为LRE10=p，则RE=10^-p，这意味着基数2中的正确位数为：

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LRE2=-log2（10^-p）

设x为实数，y为其近似值

设RE为y相对于x的相对误差：

RE（x，y）=abs（x-y）/abs（x）

设b为非负整数。基准b中的日志相对误差定义为：

LREb（x，y）=-logb（RE（x，y））

其中logb是以b为底的对数：

logb（z）=log（z）/log（b）

对于任何非负z

基数b中的LRE表示x和y之间的公共位数。这里，“正确位数”不是一个整数，而是一个实数：这将简化下一步的计算，避免需要ceil和floor函数，前提是我们接受诸如“y相对于x有2.3个正确位数”之类的语句。更准确地说，如果x和y具有q公共基b数字，则：

LREb（x，y）>=q-1

根据这些方程，如果相对误差有上界，则LREb有下界。更准确地说，如果：

RE（x，y）=-logb（ε）

此外，如果基数10中的正确位数为LRE10=p，则RE=10^-p，这意味着基数2中的正确位数为：

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LRE2=-log2（10^-p）

您的意思是精度=ceil（log2（10^-m）），m前面有一个负号，不是吗？m表示位数（正）。如果m=5个十进制数字，那么我需要至少一个精度=ceil（log2（10^5））=17。另一方面，ceil（log2（10^-5））=-16，这不是我想要的。我需要将等式更改为-floor（log2（10^-m））。当然，如果没有前导负号，后一个等式会给出一个负的精度值——这可能更可取。您的意思是精度=ceil（log2（10^-m）），m前面有一个负号，不是吗？m表示位数（正）。如果m=5个十进制数字，那么我需要至少一个精度=ceil（log2（10^5））=17。另一方面，ceil（log2（10^-5））=-16，这不是我想要的。我需要将等式更改为-floor（log2（10^-m））。当然，如果没有前导的负号，后一个方程会给你一个负的精度值——这可能更可取。似乎可以使用这些方程，但是，在计算近似值y之前，你需要知道x。假定2的平方根已发布到大约10万亿个十进制数字；但我更喜欢一种不需要实际值（这么多位数）的方法来确定估计值是否正确为了从精确值x及其近似值y估计LRE，你确实需要知道x的值。这