Matlab，守恒定律的积分

我想知道在matlab中是否有可靠的库或类似FEX的包来处理标量守恒定律（比如1D）

我目前正在处理一维非线性、非局部守恒定律，一阶格式的扩散误差正在折磨我，而且还遗漏了很多物理知识。因此，我想知道是否已经有了一些健壮的工具来避免自己编写一些代码（理想情况下，类似于C++中的模式无关的高阶ODE集成）

谢谢你的帮助

编辑：对不够清晰表示歉意。这里对于守恒定律，我指的是形式为

 u_t(t,x) + F_x(t,x) = 0

其中，

u=u（t，x）

是一个密集守恒变量（比如标量，1D，例如质量密度，能量密度，…），而

F=F（t，x）

是它的通量。因此，我对哈密顿系统的守恒性质（能量，电流…）不感兴趣（感谢@headmyshoulder的评论）

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我引用了

boost:：odeint

作为一个健壮的通用库的概念参考，该库解决了一个数学问题（ODE的集成）。因此，我正在寻找一些实现Godunov类型方法等的软件包。

我目前正在研究冲击湍流模拟的新方法，并在MATLAB中进行大量代码测试/验证。不幸的是，我还没有找到一个通用的库来实现您希望的功能，但是一个基本的Godunov或MUSCL代码相对来说实现起来比较简单。本文对一些有用的方法有一个很好的概述：
[1] Kurganov，Alexander和Eitan Tadmor（2000），非线性守恒定律和对流扩散方程的新的高分辨率中心格式，J.Comp。物理，160214-282

下面是那篇文章中的几个例子，用于在周期域上求解无粘Burgers方程的一维等间距网格。这些方法很容易推广到方程组、耗散（粘性）系统和高维系统，如[1]所述。这些方法依赖于以下功能：

通量项：

function f = flux(u)
%flux term for Burgers equation: F(u) = u^2/2;
f = u.^2/2;

Minmod功能：

function m = minmod(a,b)
%minmod function:
m = (sign(a)+sign(b))/2.*min(abs(a),abs(b));

function RHS = KTrhs(dx,u)
%%% Kurganov-Tadmor scheme

ux = minmod((u-circshift(u,[0 1]))/dx,(circshift(u,[0 -1])-u)/dx);
uplus = u-dx/2*ux;
uminus = circshift(u+dx/2*ux,[0 1]);
a = max(abs(rhodF(uminus)),abs(rhodF(uplus)));
RHS = -( flux(circshift(uplus,[0 -1]))+flux(circshift(uminus,[0 -1])) ...
         -flux(uplus)-flux(uminus) )/(2*dx) ...
      +( circshift(a,[0 -1]).*(circshift(uplus,[0 -1])-circshift(uminus,[0 -1])) ...
         -a.*(uplus-uminus) )/(2*dx);

方法 Nessyahu-Tadmor方案： 二阶方案

function unew = step_u(dx,dt,u)
%%%   Nessyahu-Tadmor scheme

ux = minmod((u-circshift(u,[0 1]))/dx,(circshift(u,[0 -1])-u)/dx);

f = flux(u);
fx = minmod((f-circshift(f,[0 1]))/dx,(circshift(f,[0 -1])-f)/dx);

umid = u-dt/2*fx;
fmid = flux(umid);

unew = (u + circshift(u,[0 -1]))/2 + (dx)/8*(ux-circshift(ux,[0 -1])) ...
      -dt/dx*( circshift(fmid,[0 -1])-fmid );

该方法在xj+1/2网格点处计算新的u值，因此它还需要在每一步进行网格移动。主要功能应类似于：

clear all

% Set up grid
nx = 256;
xmin=0; xmax=2*pi;
x=linspace(xmin,xmax,nx);
dx = x(2)-x(1);

%initialize
u = exp(-4*(x-pi*1/2).^2)-exp(-4*(x-pi*3/2).^2);

%CFL number:
CFL = 0.25;

t = 0;
dt = CFL*dx/max(abs(u(:)));
while (t<2)

    u = step_u(dx,dt,u);
    x=x+dx/2;

    % handle grid shifts
    if x(end)>=xmax+dx
        x(end)=0;
        x=circshift(x,[0 1]);
        u=circshift(u,[0 1]);
    end

    t = t+dt;

    %plot
    figure(1)
    clf
    plot(x,u,'k')
    title(sprintf('time, t = %1.2f',t))
    if ~exist('YY','var')
        YY=ylim;
    end
    axis([xmin xmax YY])
    drawnow
end

clear all

nx = 256;
xmin=0; xmax=2*pi;
x=linspace(xmin,xmax,nx);
dx = x(2)-x(1);

%initialize
u = exp(-4*(x-pi*1/2).^2)-exp(-4*(x-pi*3/2).^2);

%CFL number:
CFL = 0.25;

t = 0;
dt = CFL*dx/max(abs(u(:)));
while (t<3)


    % 4th order Runge-Kutta time stepping
    k1 = KTrhs(dx,u);
    k2 = KTrhs(dx,u+dt/2*k1);
    k3 = KTrhs(dx,u+dt/2*k2);
    k4 = KTrhs(dx,u+dt*k3);
    u = u+dt/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

    t = t+dt;

    %plot
    figure(1)
    clf
    plot(x,u,'k')
    title(sprintf('time, t = %1.2f',t))
    if ~exist('YY','var')
        YY=ylim;
    end
    axis([xmin xmax YY])
    drawnow
end

该函数还依赖于知道F（u）的雅可比矩阵的光谱半径（上述代码中的

rhodF

）。对于无粘性汉堡来说，这只是

function rho = rhodF(u)
dFdu=abs(u);

KT计划的主要计划可能是：

clear all

% Set up grid
nx = 256;
xmin=0; xmax=2*pi;
x=linspace(xmin,xmax,nx);
dx = x(2)-x(1);

%initialize
u = exp(-4*(x-pi*1/2).^2)-exp(-4*(x-pi*3/2).^2);

%CFL number:
CFL = 0.25;

t = 0;
dt = CFL*dx/max(abs(u(:)));
while (t<2)

    u = step_u(dx,dt,u);
    x=x+dx/2;

    % handle grid shifts
    if x(end)>=xmax+dx
        x(end)=0;
        x=circshift(x,[0 1]);
        u=circshift(u,[0 1]);
    end

    t = t+dt;

    %plot
    figure(1)
    clf
    plot(x,u,'k')
    title(sprintf('time, t = %1.2f',t))
    if ~exist('YY','var')
        YY=ylim;
    end
    axis([xmin xmax YY])
    drawnow
end

clear all

nx = 256;
xmin=0; xmax=2*pi;
x=linspace(xmin,xmax,nx);
dx = x(2)-x(1);

%initialize
u = exp(-4*(x-pi*1/2).^2)-exp(-4*(x-pi*3/2).^2);

%CFL number:
CFL = 0.25;

t = 0;
dt = CFL*dx/max(abs(u(:)));
while (t<3)


    % 4th order Runge-Kutta time stepping
    k1 = KTrhs(dx,u);
    k2 = KTrhs(dx,u+dt/2*k1);
    k3 = KTrhs(dx,u+dt/2*k2);
    k4 = KTrhs(dx,u+dt*k3);
    u = u+dt/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

    t = t+dt;

    %plot
    figure(1)
    clf
    plot(x,u,'k')
    title(sprintf('time, t = %1.2f',t))
    if ~exist('YY','var')
        YY=ylim;
    end
    axis([xmin xmax YY])
    drawnow
end

全部清除
nx=256；
xmin=0；xmax=2*pi；
x=linspace（xmin，xmax，nx）；
dx=x（2）-x（1）；
%初始化
u=exp（-4*（x-pi*1/2）。^2）-exp（-4*（x-pi*3/2）。^2）；
%CFL编号：
CFL=0.25；
t=0；
dt=CFL*dx/max（abs（u）（））；
虽然（todeint有辛Runge-Kutta步进器。也许这对你很有用。它们至少在平均值和相空间体积上节约了能量。我还不清楚你指的是什么样的守恒定律。如果u是守恒的，你的ODE F_x=0。@headmyshoulder，我进一步改进了这个问题，谢谢你的评论。b我指的是一种等式。你考虑过类似openFOAM的东西吗？