Matlab 测试点是否位于4D中的2D拟合平面上

假设在R^4中有3+个共面点，但没有共线点。为了找到它们都位于其中的二维平面（不是超平面），我使用了MatlabCentral的以下平面拟合算法：

function [n,V,p] = affine_fit(X)
    % Computes the plane that fits best (least square of the normal distance
    % to the plane) a set of sample points.
    % INPUTS:
    % X: a N by 3 matrix where each line is a sample point
    %OUTPUTS:
    %n : a unit (column) vector normal to the plane
    %V : a 3 by 2 matrix. The columns of V form an orthonormal basis of the plane
    %p : a point belonging to the plane
    %NB: this code actually works in any dimension (2,3,4,...)
    %Author: Adrien Leygue
    %Date: August 30 2013

    % the mean of the samples belongs to the plane
    p = mean(X,1);
    % The samples are reduced:
    R = bsxfun(@minus,X,p);
    % Computation of the principal directions of the samples cloud
    [V,D] = eig(R'*R);
    % Extract the output from the eigenvectors
    n = V(:,1);
    V = V(:,2:end);
end

我在比规定更高的维度中使用了该算法，因此X是一个4x4矩阵，它在4个坐标维度中包含4个点。生成的输出是这样的

[n,V,p] = affine_fit(X);

n = -0.0252
    -0.0112
     0.9151
    -0.4024

V = 0.9129   -0.3475    0.2126
    0.3216    0.2954   -0.8995
    0.1249    0.3532    0.1493
    0.2180    0.8168    0.3512

p = -0.9125    1.0526    0.2325   -0.0621

---

我现在想做的是找出我选择的其他点是否也是平面的一部分。考虑到上面的信息，我确信这是相当容易的，但在这一点上，我只知道我需要两个线性方程来描述4D中的2D平面或两个变量的参数方程。我可以在理论上设置它们，但是编写代码是有问题的。也许有一种更直接的方法可以在matlab中进行测试？

您可以使用matlab函数（参见示例）。例如，可以确定平面的基础、平面的法向量和平面上的点m，如下所示：

coeff = pca(X);
basis = coeff(:,1:2);
normals = coeff(:,3:4);
m = mean(X);

---

要检查点p是否位于该平面上，只需使用验证

m-p

与平面上的法向量正交（点积等于零）即可。

啊，太好了，谢谢！所以，m-p必须与两条法线中的每一条正交，对吗？如果X是一个由4个点组成的4x4矩阵，而coeff=pca（X）只给出了一个3x4矩阵，我能得出其中两个点是共线的结论吗？我相信你能。通过验证X的秩，始终可以检查点是否共线。