以最小增量加1的随机数：Matlab

仔细阅读了前面的问题

我正在努力解决一个类似但稍微复杂的问题

我想创建一个由n个元素组成的数组，其总和为1，但是我需要一个附加的约束，即每个元素的最小增量（或者如果您喜欢有效数字的数量）是固定的

例如，如果我想要10个和为1的数字，而不受任何约束，则以下操作非常有效：

 num_stocks=10;
 num_simulations=100000;
 temp = [zeros(num_simulations,1),sort(rand(num_simulations,num_stocks-1),2),ones(num_simulations,1)];
 weights = diff(temp,[],2);

我愚蠢地认为，通过扩展它，我可以添加如下约束

 num_stocks=10;
 min_increment=0.001;
 num_simulations=100000;
 scaling=1/min_increment;

 temp2 = [zeros(num_simulations,1),sort(round(rand(num_simulations,num_stocks-1)*scaling)/scaling,2),ones(num_simulations,1)];
 weights2 = diff(temp2,[],2);

function weights = unbiased_monkey_weights(num_simulations,num_stocks,min_increment)

scaling=1/min_increment;
sample=NaN(num_simulations,num_stocks-1);

    for i=1:num_simulations
      allcomb=randperm(scaling+num_stocks-1);
      sample(i,:)=allcomb(1:num_stocks-1);
    end

temp = [zeros(num_simulations,1),sort(sample,2),ones(num_simulations,1)*(scaling+num_stocks)];
weights = (diff(temp,[],2)-1)/scaling;

end

然而，尽管这适用于小数值n和小数值增量，例如，如果n=1000，增量为0.1%，那么在大量试验中，第一个和最后一个数值的平均值始终低于0.1%

我确信对此有一个合乎逻辑的解释/解决方案，但我一直在竭尽全力尝试并找到它，不知道有谁会好心地为我指出正确的方向。将问题置于上下文中，创建随机股票组合（因此总和为1）

提前谢谢

感谢您到目前为止的回复，只是为了澄清一下（因为我认为我最初的问题可能措词不当），权重的固定增量为0.1%，即0.0%、0.1%、0.2%等等

起初我确实尝试过使用整数

 num_stocks=1000;
 min_increment=0.001;
 num_simulations=100000;
 scaling=1/min_increment;

 temp = [zeros(num_simulations,1),sort(randi([0 scaling],num_simulations,num_stocks-1),2),ones(num_simulations,1)*scaling];
 weights = (diff(temp,[],2)/scaling);
 test=mean(weights);

但更糟糕的是，第一次和最后一次重量的平均值远低于0.1%

编辑以反映Floris&Clearify的优秀答案

我用来解决这个问题的原始代码（在找到这个论坛之前）是

这运行速度非常快，这很重要，因为我想运行10000000个模拟，1000个股票上的10000个模拟只需2秒钟，使用一个单核&我正在使用并行工具箱在8核机器上运行整个代码

它也给出了我一直在寻找的均值分布，我认为得到一只股票100%的投资组合的可能性与得到一只股票0.1%的投资组合的可能性一样（尽管我很高兴被纠正）

我的问题是，尽管它适用于1000只股票，增量为0.1%，我猜它适用于100只股票，增量为1%，但随着股票数量的减少，每个选择都会变成一个非常大的百分比（在极端情况下，2只股票的投资组合总是50/50）

实际上，我认为这个解决方案与Floris建议的二项式解决方案类似（但更为有限）

然而，我的问题出现了，因为我想让我的方法更灵活，有可能是3支股票，1%的增量，而我目前的代码无法正确处理，因此我无意中接受了关于stackoverflow的原始问题

Floris的递归方法将得到正确的答案，但考虑到问题的规模，速度将是一个主要问题

这里是原始研究的一个例子

---

我目前正在努力扩展它，使其在投资组合权重和指数中的股票数量方面具有更大的灵活性，但似乎我的编程和概率论能力是一个限制因素……

我可以看到的一个问题是，你的公式允许数字为零——当四舍五入操作导致排序后两个连续数字相同时。不确定你是否认为这是一个问题-但我建议你考虑一下（这意味着你的模型投资组合中有少于N个股票，因为其中一个股票的贡献将是零）。p> 另一件需要注意的事情是，在分布中得到极值的概率是你想要的概率的一半：如果你有从0到1000的均匀分布的数字，并且你对它们进行

四舍五入

，四舍五入到

0

的数字在区间

[0.5>

；四舍五入到

1

的数字来自

[0.5 1.5>

——两倍大。最后一个数字（四舍五入到

1000

）的间隔也更小：

[999.5 1000]

。因此，你不会像你想象的那样经常得到第一个和最后一个数字。如果你不使用

轮

而是使用

楼层

我想你会得到你期望的答案

编辑

我对此进行了更多的思考，并提出了一种缓慢但（我认为）准确的方法。基本思想如下：

从整数的角度考虑；不要以0.001的步长除以区间0-1，而是以整数步长除以区间0-1000

如果我们尝试将N划分为m个区间，则步长的平均大小应为N/m；但如果是整数，我们希望区间是二元分布的

这建议了一种算法，在该算法中，我们选择第一个区间作为均值

（N/m）

的二元分布变量-调用第一个值

v1

；然后将剩余区间

N-v1

划分为

m-1

步骤；我们可以递归地这样做

以下代码实现了这一点：

% random integers adding up to a definite sum
function r = randomInt(n, limit)
% returns an array of n random integers
% whose sum is limit
% calls itself recursively; slow but accurate
if n>1
    v = binomialRandom(limit, 1 / n);
    r = [v randomInt(n-1, limit - v)];
else
    r = limit;
end

function b = binomialRandom(N, p)
b = sum(rand(1,N)<p); % slow but direct

这在一台普通的机器（单线程）上运行了3.8秒——当然，获取二元分布随机变量的方法会减慢速度；有一些统计工具箱具有更高效的函数，但我没有。如果您增加粒度（例如，通过设置

limit=10000

）由于您增加了生成的随机数样本的数量，因此速度会更慢；当

limit=10000

时，上述循环需要13.3秒才能完成

作为一项测试，我发现

平均值（投资组合）

和

标准值（投资组合）

如下所示（其中

限值=1000

）：

对我来说，这看起来像是一个非常令人信服的“平坦”分布。我们期望数字以平均值100的二元分布，标准偏差为

sqrt（p*（1-p）*n）

。在这种情况下，

p=0.1

，因此我们期望

tic
portfolio = zeros(10000, 10);
for ii = 1:10000
  portfolio(ii,:) = randomInt(10, 1000);
end
toc

100.20  9.446
 99.90  9.547
100.09  9.456
100.00  9.548
100.01  9.356
100.00  9.484
 99.69  9.639
100.06  9.493
 99.94  9.599
100.11  9.453

X = diff([0,sort(rand(1,10)),1]*45);

Y = X + 5;

function weights = unbiased_monkey_weights(num_simulations,num_stocks,min_increment)

scaling=1/min_increment;
sample=NaN(num_simulations,num_stocks-1);

    for i=1:num_simulations
      allcomb=randperm(scaling+num_stocks-1);
      sample(i,:)=allcomb(1:num_stocks-1);
    end

temp = [zeros(num_simulations,1),sort(sample,2),ones(num_simulations,1)*(scaling+num_stocks)];
weights = (diff(temp,[],2)-1)/scaling;

end