Matlab ODE事件数随简单ODE条件的变化而变化

我有以下简单的颂歌：

dx/dt=-1

对于初始条件x（0）=5，我感兴趣的是x（t）=1。因此，我有以下事件函数：

function [value,isterminal,direction] = test_events(t,x)
    value = x-1;
    isterminal = 0;
    direction = 0;
end

这将在t=4时产生一个事件。但是，如果我运行以下代码，我会得到两个事件，一个在t=4，另一个在附近的位置t=4+5.7e-14：

options = odeset('Events',@test_events);
sol = ode45(@(t,x)-1,[0 10],5,options);
fprintf('%.16f\n',sol.xe)
% 4.0000000000000000
% 4.0000000000000568

如果我运行类似的代码来查找x（t）==0或x（t）=-1（分别为value=x或value=x+1），我只有一个事件。为什么会产生两个事件

更新：如果选项结构更改为以下内容：

options = odeset('Events',@test_events,'RelTol',1e-4);

…则ODE仅在t=4+5.7e-14时返回一个事件。如果'RelTol'设置为1e-5，则在t=4时返回一个事件。如果'RelTol'设置为1e-8，则返回与默认值相同的两个事件（'RelTol'=1e-3）。此外，将初始条件从x（0）=5更改为x（0）=4会产生一个事件，但设置x（0）=4和“RelTol”=1e-8会产生两个事件

---

更新2：观察sol.x和sol.y输出（分别为t和x），时间以整数[01 2 3 4 5 6 7…]的形式进行，x以整数的形式进行，直到x（t=5）为止，就像这样：[5 4 3 2 1 1.11e-16-1.000-2.000…]。这表明在t=4和t=5之间发生的某些情况会在ODE解决方案中创建一个“凹凸”。为什么？

一种推测可能解释了在这个简单问题中舍入误差是如何发生的：解决方案是使用ODE导数函数的求值（也称为“密集输出”）在内部步骤之间插值的。理论形式是

b_1(u)k_1 + b_2(u)k_2 + ...b_s(u)k_s

---

其中，

0一个推测可能解释了在这个简单问题中舍入误差是如何发生的：使用ODE导数函数的求值
k_n
在内部步骤之间插入解决方案，也称为“密集输出”。理论形式是

b_1(u)k_1 + b_2(u)k_2 + ...b_s(u)k_s

其中
0查看“RelTol”和“absol”选项。如果我设置选项=odeset（'Reltol'，1e-5，'Events'，@test_Events）；我在“x-1”只有一个事件，通过将RelTol设置为1e-5，我也只能得到一个事件。然而，我仍然不明白为什么这会影响到如此简单和规模良好的ODE。我将更新问题以包含此信息。ode解算器的精度有限，可以通过这两个属性进行更改。对于解算器，您获得的t值是相同的。它无法区分它们。这仍然留下以下问题：-在许多情况下，更严格的公差会降低解算器的精度。对于这样一个简单的情况，应该不需要更严格的公差，并且完全任意的选择-设置RelTol=1e-8产生与默认RelTol=1e-3相同的解决方案-更改@test_事件中“值”的定义或更改初始条件可能会改变结果（RelTol不应以不同方式影响这些结果）我将更新问题以包含此信息您还可以查看包含在sol对象中的内部采样点。在一些示例中，可能会出现一个接近4的情况，但是由于步长应该相当大，因此这应该是一个低概率事件。请查看“RelTol”和“ABSTROL”选项。如果我设置选项=odeset（'Reltol'，1e-5，'Events'，@test_Events）；我在“x-1”只有一个事件，通过将RelTol设置为1e-5，我也只能得到一个事件。然而，我仍然不明白为什么这会影响到如此简单和规模良好的ODE。我将更新问题以包含此信息。ode解算器的精度有限，可以通过这两个属性进行更改。对于解算器，您获得的t值是相同的。它无法区分它们。这仍然留下以下问题：-在许多情况下，更严格的公差会降低解算器的精度。对于这样一个简单的情况，应该不需要更严格的公差，并且完全任意的选择-设置RelTol=1e-8产生与默认RelTol=1e-3相同的解决方案-更改@test_事件中“值”的定义或更改初始条件可能会改变结果（RelTol不应以不同方式影响这些结果）我将更新问题以包含此信息您还可以查看包含在sol对象中的内部采样点。在一些示例中，可能会出现一个接近4的事件，但是由于步长应该相当大，因此这应该是一个低概率事件。我感谢您深思熟虑的回答。我已经考虑过这一点，但我不确定我是否完全理解。然而，我将阐述我能理解的：如果events函数的根有多个交叉点，那么这是否意味着我需要奇数个事件来满足value（t=0）>0和value（t=t_end）<0？此外，在这种情况下，施加方向约束不应该导致单个事件吗？我检查了后一个想法，设置direction=-1并不能解决这个问题。如果插值多项式完全连续地拟合在一起，就会出现这种情况。我不知道到底发生了什么，但我认为由于浮点错误，会有间隙。但要想知道到底发生了什么，就必须尽可能深入挖掘中介结果和代码。我们可以从接近根的位置绘制解开始，使用
sol
的求值来获得插值多项式的值。我感谢您深思熟虑的回答。我已经考虑过这一点，但我不确定我是否完全理解。然而，我将阐述我能理解的：如果events函数的根有多个交叉点，那么这是否意味着我需要奇数个事件来满足value（t=0）>0和value（t=t_end）<0？此外，在这种情况下，施加方向约束不应该导致单个事件吗？我检查了后一个想法，设置direction=-1并不能解决这个问题。如果插值多项式可以