Matrix 用位异或算子直接计算递归中的元素

让我们有一个矩阵mxn矩阵a[i][j]部分给定为：（从行=0开始，列=0）：

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1） 对于所有1让我们绘制出矩阵A的前16行和列：

1000000000000000
1111111111111111
1010101010101010
1100110011001100
1000100010001000
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1010000010100000
1100000011000000
1000000010000000
1111111100000000
1010101000000000
1100110000000000
1000100000000000
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1100000000000000

您的问题“是否存在模式”的答案很明显是“是！”左上角的8x8子矩阵直接复制到其自身下方，也直接复制到右侧，但右侧的副本在其左上角有一个0，而不是一个1。右下角的8x8子矩阵除了左上角有一个1外，其余都是0。如果我们只研究前8行和前8列，就会出现完全相同的模式：

10000000
11111111
10101010
11001100
10001000
11110000
10100000
11000000

左上角的4x4子矩阵直接复制到其自身下方，也直接复制到右侧，但右侧的副本在其左上角有一个0，而不是一个1。右下角的4x4子矩阵除了左上角有一个1之外都是0

这种递归自相似性使矩阵成为分形，非常类似于

递归自相似性还使我们能够使用i和j的二进制表示轻松地计算A[i][j]。设B为i或j的二进制表示中的最高阶位集。然后，以下过程将返回A[i][j]的正确值：

• 对于b=b到0：
  • 如果j=0，当限制为0到b位时，则返回1（我们在第一列，这都是1）
  • 否则，如果i=0，当限制为位0到b时，则返回0（我们在第一行）
  • 否则，如果i和j都在位b中存储了1，则返回0，除非每个位中的所有剩余位都是0，在这种情况下返回1
  • 否则继续（我们递归到更小的子矩阵）

该算法运行在O（log（max（i，j））运行时，比朴素方法的O（ij）运行时快得多

让我们通过几个示例来了解此算法的实际应用：

• 根据上述矩阵，A[9][9]=0。在二进制表示法中，i=1001和j=1001。两者的最高有效位都有一个1，并且在该位之后设置了一些位，因此根据上面的规则，我们返回0

• A[9][3]=1，根据上述矩阵计算。在二进制表示中，i=1001和j=0011。在最左边（最高有效位），i有一个1，j有一个0。因此，我们继续下一位（递归），其中两位都有一个0。我们再次进入下一位，其中i有一个0，j有一个1。因此，我们进入最后一点。两者的位中都有一个1，后面所有的位都是0（这是非常正确的，因为没有后面的位），所以我们返回1

• A[9][4]=1，根据上述矩阵。在二进制表示中，i=1001和j=0100。在最左边（最高有效位），i有一个1，j有一个0。因此，我们继续下一位（递归），其中i有一个0，j有一个1。我们再次进入下一位，其中都有一个0。j在这个位和后面的所有位中都有一个0，所以我们返回1

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该算法的一个有趣含义是，每行k（对于k>0）都有一个周期为2^B的重复模式，其中B是行号二进制表示的最高有效位。例如，第3行（二进制表示法11）重复1100，而第9行（二进制表示法1001）重复11111 00000000。这意味着行k>0的完整重复序列可以在O（k）存储中表示，并且可以通过单独计算j=0，1，…，2^上限（log_2 k）-1的[k，j]在O（k log k）时间内计算出来。

谢谢您的回答，实际上，如果我已经计算了前几行，那么我想要得到一整行，这样我就可以从O（logn）中的预计算行计算任何一行了？这可能吗？因为我看到任何一行都表示X与行X-2^（最大幂为2）非常相似。@mahendersingh如果你想计算行k的前n个元素，那么不管你选择什么方法，你至少需要O（n）个时间。如果您使用我的答案中的方法分别计算每个元素，您将能够在O（n log（max（n，k）））运行时进行计算，这应该仍然非常快。我感谢您的回答，但我有很多查询，不是获取该特定行的每个元素，而是说我需要该特定行的所有元素的总和或xor，那我不能更有效地做吗？请仔细阅读我以前的文章comment@mahendersingh我看不出有比这更容易/更快的方法。很抱歉同样，如果您想计算一行中的n个元素，那么按照您的要求在O（log（n））运行时中这样做是没有希望的——只需编写输出值就需要O（n）个工作。我在这里发布的解决方案实际上并不比O（n）慢多少。@mahendersingh我添加了一条关于计算给定行的重复模式的注释。我希望这有助于解决你的问题。