Oop 类型-子类型关系。有些事情似乎不清楚

我正在阅读一些面向对象编程语言类的幻灯片，并进入了类型子类型定义：

Barbara Liskov，“数据抽象和层次结构”，SIGPLAN注意到， 23,5（1988年5月）：

这里需要的是一些东西 像下面的替换 属性：对于每个对象的 类型S有一个对象 键入T，使所有程序P
定义为T，即 当o_S为 代替o_T，则S为a T亚型

然后是一个例子：

点={x:Integer，y:Integer}
PositivePoint={x:Positive，y:Positive}
其中正={k:Integer | k>0}

我们能说那个正点吗≤ 要点

是的，因为类型为PositivePoint的元素可能总是 在中定义的程序中替换Point类型的元素 点术语

现在。。。对我来说，这似乎应该是完全相反的：重点≤ PositivePoint，因为我不能在使用负坐标点的程序中使用PositivePoint，而我可以使用相反的坐标点

我怀疑语法是否是

类型≤ 子类型

或子类型≤ 键入，但语句似乎更清楚，那么怎么了

---

编辑 为了方便起见，问题是： 你能说

PositivePoint

是

点的一个子类型吗？
为什么?


第二版
我在这里报告了我在评论中所写的内容，希望它能让我的问题更清楚：

假设程序必须绘制一个
从
点开始的方形地图
（-100，-100）
到
点
（100100）。你会怎么做
如果使用类型，则会发生这种情况
PositivePoint
？该计划是否有效
行为不变？不会的。
这种“不变的行为”是唯一的选择
我不明白的事。如果定义
子类型的类型是简单的
继承和
从其他类型覆盖它
可以，但似乎不行
这个案子

我还没看过电影≤ 这个符号以前用来表示这个，但我认为它的意思是
PositivePoint≤ 点
意味着
点
比
正点
具有更大的潜在值范围（即：
正点
是
点
的子集，
正点
的所有实例都可以被
点
的有效实例替换，但不是相反的方式）。
Liskov是正确的，正点≤ 点，因为正点是点的精化。任何使用Point的代码都必须能够使用PositivePoint，因为始终存在点坐标为正的可能性。反之则不然，因为使用PositivePoint的代码可能在坐标始终为正的假设下运行，而将PositivePoint替换为Point将打破该假设

请注意，她并不是说一个PositivePoint可以替换一个点，而是说一个PositivePoint可以在需要点的地方使用。
您可以通过对类型关系进行建模

PositivePoint⊂ 点
与点
PositiveInt的原因相同⊂ Int
does:正数是所有可能数的子集

每个
PositivePoint
都属于
点，但不是相反。
思想是，任何接受PositivePoint的函数都依赖于点的值为正值这一事实。如果传入的点的值不是正值，则假设为false，函数将失败

但是，接受一个点的函数不会对该点的正性做出任何假设，因此，如果您传入了一个正性点，就可以了

请注意，这仅适用于不可变点类。如果您能够更改点的值，则PositivePoint和Point可能根本不存在子类关系，因为对PositivePoints的操作
p.x=-1
将失败

编辑：详细说明：

假设我们有一个二维数组，它会在需要时自动增长（即，当传递两个正索引时，不会出现索引越界错误）。现在我们有一个函数，它接受一个正整数p，然后访问索引x，y处的2d数组。这不会失败，因为x和y保证为正，并且2d数组可以使用任何一对正索引进行索引。然而，若Point是PositivePoint的一个子类型，p实际上可能有负值，即使它被声明为正值。这意味着使用它对数组进行索引不再安全

然而，接受一个点的函数不知道该点的值是负值还是正值——它已经考虑到它们是正值的可能性。因此，传递一个正整数不能破坏任何东西。
她似乎说，如果你说正整数是点的一个子类型，：“当o_S代替o_t时，p的行为是不变的，那么S是t的一个子类型。”我一直认为“可能的正整数比点少”。所有可能的正点的集合都包含在所有可能点的集合中，因此比所有可能点的集合更大。@Dustman:这对我来说是有意义的，但是如果P是根据点定义的，并且你使用点定义的，我想让你再详细说明一下。对于我来说，
点
的范围更广，因此它可以用来代替
正点
，因为每个只使用正整数的操作都属于
点
的范围。不可变类是什么意思？如果你将程序设计为使用
点
它意味着它也可以使用负值，如果你用
正点
替换该类，那么“
P的行为保持不变
”是错误的，不是吗？@Andrea Ambu：如果P是