用PHP计算机器ε的最佳方法？

在PHP中直接计算机器epsilon（浮点舍入误差）的最佳/最正确方法是什么，而不是使用内置常量

PHP\u FLOAT\u epsilon

？目前，我研究了两种方法，“标准”和渐近逼近ε：

    // Standard way
    $x=1.0;
    $dx=2.0; 
    while (($x/=$dx)+1.0!=1.0); 
    echo "EPSILON : $x".", DEFINED/CALC : ".round(PHP_FLOAT_EPSILON/$x)."x\n";

    // Asymptotically approaching
    $x=1.0;
    $dx=2.0; 
    while (($x/=$dx)+1.0!=1.0) $dx/=1.0+10**-5;
    echo "EPSILON : $x".", DEFINED/CALC : ".round(PHP_FLOAT_EPSILON/$x)."x\n";

问题是，他们给出的答案有不同的错误：

ε：1.1102230246252E-16，已定义/计算：2x

EPSILON:5.6311222663283E-17，已定义/计算：4x

---

所以标准给出ε=1/2ε0，其他算法给出ε=1/4ε0。我不确定epsilon应该如何正确计算。

多亏了@EricPostpischil，导致错误的主要原因是打印x的第一个值

x+1=1

，而不是打印x的最后一个值

x+1>≠1

。固定代码：

// Standard way
$x=1.0;
$dx=2.0; 
while (true) {
  $px = $x;
  $x/=$dx;
  if ($x+1.0==1.0) 
    break;
} 
printf ("ε = $x ≈ %.1f ε₀ \n", $px/PHP_FLOAT_EPSILON);

// Asymptotically approaching
$x=1.0;
$dx=2.0; 
while (true) {
  $px = $x;
  $x/=$dx;
  $dx/=1.0+10**-5;
  if ($x+1.0==1.0) 
    break;
} 
printf ("ε = $x ≈ %.1f ε₀ \n", $px/PHP_FLOAT_EPSILON);

报告=>

ε=1.1102230246252E-16≈ 1.0 ε₀
ε=5.6311222663283E-17≈ 0.5 ε₀

---

现在已经足够好了，因为第一个标准案例报告的epsilon与PHP文档中的epsilon相同。至于第二个algo，它可能是由于舍入问题，可以有一些不同的解释。也就是说，如果±ε使您进入下一个可表示的浮点数，则表示误差为半ε，因为任何大于| 0.5ε的变化₀| 将四舍五入到下一个可表示的数字。这就像物理学家计算测量误差一样。假设你有一把最小测量单位为1毫米的尺子。然后，在当前读数上加上±0.5 mm，四舍五入将获得标尺上的下一个可表示读数。因此，有些人说实际测量误差是0.5毫米，有些人说是1毫米，这取决于定义。这里也一样。

最好在堆栈站点上询问这个问题，可能是，也可能不是。它还可能取决于浮点格式的语言实现。在任何情况下，不仅仅是数学浮点格式的实现是计算机的东西。@RiggsFolly:不，这里涉及的问题是计算问题。特别是，舍入导致

（$x/=$dx）+1.0

不等于

1.0

，即使

（$x/=$dx）

小于“机器ε”（但超过一半）。这是一个计算问题，而不是一个纯粹的数学问题。如果你看到“机器ε”的定义是

1+x

不等于

1

的最小值x，那是不正确的。“机器ε”的正确定义是，它是1和下一个可表示数字之间的差。这叫美国。所以1和1+e是可表示的数字。假设x是（½u，u）中的某个数字。然后，当计算

1+x

时，结果为1+u，因为它被四舍五入，实际算术结果介于1和1+u之间，这是两个最接近的可表示值。因为它更接近1+u，所以四舍五入到1+u，这就是为什么第一个定义是错误的。第二，循环终止后，代码显示

$x

的值，这意味着它显示两个表达式相等的

$x

的第一个值，而不是显示两个表达式不相等的

$x

的最后一个值。