Prolog lib（ic）的精确解

使用EclipseProlog，我偶然发现了下面的问题，我被。事实上，这只是其中的一部分。首先，让我用

（is）/2

来表示方程。此外，请注意，所有这些十进制数字都以基数2浮点数（包括IEEE）精确表示：

所以这实际上是0.0（根本没有舍入）。但是现在用

$=

代替

的方法是

：

[eclipse 3]: X= -1, Y = 2, Null $= 0.80143857*X+1.65707065*Y-2.51270273.

X = -1
Y = 2
Null = 2.2204460492503131e-16__2.2204460492503131e-16
Yes (0.00s cpu)

此间隔不包含0.0。我知道区间算术通常有点过于近似，如：

[eclipse 4]: 1 $= sqrt(1).

Delayed goals:
    0 $= -1.1102230246251565e-16__2.2204460492503131e-16
Yes (0.00s cpu)

但至少等式成立！然而，在第一种情况下，不再包括零。显然我还不明白什么。我也尝试了

eval/1

，但没有成功

[eclipse 5]: X= -1, Y = 2, Null $= eval(0.80143857*X+1.65707065*Y-2.51270273).

X = -1
Y = 2
Null = 2.2204460492503131e-16__2.2204460492503131e-16
Yes (0.00s cpu)

Null

不包括

0.0

的原因是什么

---

（在@jsf令人惊讶的回答之后编辑）

这是书中187页的引文，我认为这意味着数字是准确的（现在被划过）

使用{3,5}环境，可以模拟IEEE单精度的环境。输入值完全可以表示
{-1，2}
完成了这项工作，用少于所用位的一半计算出准确答案

否则，第184页的声明将：

0.80143857 x+1.65707065 y=2.51270273

这些方程式看起来确实很简单。假设精确的十进制输入，这个系统由x=-1和y=2精确求解

这是用SICStus的

库（clpq）

重新检查的：

所以-1，2是精确解

---

精确的公式 这是一个在输入系数中没有舍入问题的重新公式，但解决方案仍然是简单的-∞...+∞. 因此，这是微不足道的正确，但不可用

[eclipse 2]: A = 25510582, B = 52746197, U = 79981812, 
C = 80143857, D = 165707065, V = 251270273,
A*X+B*Y$=U,C*X+D*Y$=V.

A = 25510582
B = 52746197
U = 79981812
C = 80143857
D = 165707065
V = 251270273
X = X{-1.0Inf .. 1.0Inf}
Y = Y{-1.0Inf .. 1.0Inf}


Delayed goals:
    52746197 * Y{-1.0Inf .. 1.0Inf} + 25510582 * X{-1.0Inf .. 1.0Inf} $= 79981812
    80143857 * X{-1.0Inf .. 1.0Inf} + 165707065 * Y{-1.0Inf .. 1.0Inf} $= 251270273
Yes (0.00s cpu)

---

这里有几个问题共同造成了混乱：

除了声明之外，示例中的三个常量 没有双浮点数的精确表示

最初的例子不涉及四舍五入，这是不对的

第一个例子中看似正确的结果实际上是由于 幸运的四舍五入误差。其他计算顺序给出不同的结果

精确结果，给出了 这些常数实际上不是零而是2.2204460492503131e-16

区间算法只能在输入 是准确的，这里不是这样。常数必须是 加宽为包含所需小数的区间

像lib（ic）所提供的关系算术本质上就是这样的 不保证特定的评估顺序。因此，四舍五入 错误可能与功能评估期间遇到的错误不同。 然而，对于给定常数，结果将是准确的

下面将更详细地介绍。正如我将展示的 使用ECLiPSe查询的要点，提前简单介绍一下语法：

• 由双下划线分隔的两个浮点，例如

  0.99\uu 1.01

  在这种情况下，表示具有下限和上限的区间常数 1附近的数字

• 由一个下划线分隔的两个整数，例如

  3\u 4

  用分子和分母表示有理常数 案例四分之三

要演示点（1），请转换的浮点表示形式 将0.80143857转换为有理数。这给出了精确的分数 3609358445212343/4503599627370496，接近但不相同， 到预定的小数点80143857/100000000。浮点 因此，表述不准确：

下面显示了结果如何取决于评估顺序 （上文第3点；请注意，我已将原始示例简化为 去掉不相关的乘法）：

顺序相关性证明存在舍入误差（第2点）。对于那些熟悉浮点运算的人来说，事实上很容易看出这一点 添加

-0.80143857+3.3141413

时，

0.80143857

在调整操作数的指数时丢失。事实上是这样 这个幸运的四舍五入错误给了OP一个看似正确的结果

在现实中，第二个结果相对于 常量的浮点表示形式。我们可以证明这一点 通过使用精确的有理运算重复计算：

?- Null is rational(-0.80143857) + rational(3.3141413) - rational(2.51270273).
Null = 1_4503599627370496
Yes (0.00s cpu)

?- Null is rational(-2.51270273) + rational(3.3141413) - rational(0.80143857).
Null = 1_4503599627370496
Yes (0.00s cpu)

由于加法是用精确的有理数完成的，所以结果现在是正确的 订单独立，因为

14503599627370496=：=2.2204460492503131e-16

， 这确认了上面获得的非零浮点结果（第4点）

区间算术在这里有什么帮助？它通过使用 包含真实值的间隔，这样结果将始终 输入数据要准确。因此，至关重要的是 输入间隔（ECLiPSe术语中的有界实数），包含 所需的真实值。这些可以通过书写它们来获得 明确向下，例如

0.80143856_uu0.80143858

； 通过从精确的数字转换，例如使用有理数

breal（80143857_100000000）

；或者通过指示解析器自动 将所有浮点数加宽为有界实数间隔，如下所示：

?- set_flag(syntax_option, read_floats_as_breals).
Yes (0.00s cpu)

?- Null is -0.80143857 + 3.3141413 - 2.51270273.
Null = -8.8817841970012523e-16__1.3322676295501878e-15
Yes (0.00s cpu)

?- Null is -2.51270273 + 3.3141413 - 0.80143857.
Null = -7.7715611723760958e-16__1.2212453270876722e-15
Yes (0.00s cpu)

这两个结果现在都包含零，很明显

---

结果的精度取决于求值顺序。

因此，直接浮点值不应解释为精确值，而应解释为来自十进制表示的间隔。目前，间隔的语法也会受到舍入的影响，因此这是一个固有的问题：

writeq（1.0000000000000000000000002_uu1.0000000000000000003）。1.0_uu1.0

。相反，应该有一个

代表
?- F is rational(0.80143857), F =\= 80143857_100000000.
F = 3609358445212343_4503599627370496
Yes (0.00s cpu)

?- Null is -0.80143857 + 3.3141413 - 2.51270273.
Null = 0.0
Yes (0.00s cpu)

?- Null is -2.51270273 + 3.3141413 - 0.80143857.
Null = 2.2204460492503131e-16
Yes (0.00s cpu)

?- Null is rational(-0.80143857) + rational(3.3141413) - rational(2.51270273).
Null = 1_4503599627370496
Yes (0.00s cpu)

?- Null is rational(-2.51270273) + rational(3.3141413) - rational(0.80143857).
Null = 1_4503599627370496
Yes (0.00s cpu)

?- set_flag(syntax_option, read_floats_as_breals).
Yes (0.00s cpu)

?- Null is -0.80143857 + 3.3141413 - 2.51270273.
Null = -8.8817841970012523e-16__1.3322676295501878e-15
Yes (0.00s cpu)

?- Null is -2.51270273 + 3.3141413 - 0.80143857.
Null = -7.7715611723760958e-16__1.2212453270876722e-15
Yes (0.00s cpu)